YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa mãn \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-2}}+2y \right)=6y-x\,+1\) và \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\)?

    • A. 13
    • B. 15
    • C. 7
    • D. 6

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: C

    + Điều kiện \({{3}^{x-2}}+2y>0\).

    + Phương trình tương đương: \({{2.3}^{x-1}}-{{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)=6y-x\,\,\,\left( * \right)\).

    + Đặt: \(u={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\Rightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{u}}\) \(\Rightarrow 6y={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}\).

    Ta có: \(\left( * \right)\Leftrightarrow {{2.3}^{x-1}}-u={{3}^{u}}-{{3}^{x-1}}-x\)

                     \(\Leftrightarrow {{3.3}^{x-1}}+x={{3}^{u}}+u\)\(\Leftrightarrow {{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\).

    + Hàm \(f\left( t \right)={{3}^{t}}+t\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\) nên

    \({{3}^{x}}+x={{3}^{u}}+u\Leftrightarrow x=u\Leftrightarrow x={{\log }_{3}}\left( {{3}^{x-1}}+6y \right)\)

                           \(\Leftrightarrow {{3}^{x-1}}+6y={{3}^{x}}\)\(\Leftrightarrow y={{3}^{x-2}}\) (thỏa đk \({{3}^{x-2}}+2y>0\)).

    + Do \({{2022}^{-1}}\le y\le 2022\) nên \({{2022}^{-1}}\le {{3}^{x-2}}\le 2022\)

                         \(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}\le x-2\le {{\log }_{3}}2022\)

                         \(\Leftrightarrow {{\log }_{3}}{{2022}^{-1}}+2\le x\le {{\log }_{3}}2022+2\)

                         \(\Rightarrow -5<x<9\).

    + Do \(x\) nguyên, suy ra \(x\in \{-4;-3;....;8\}\).

                         \(x\in \{-4;-3;-2;-1;0;1\}\) suy ra \(y\) không nguyên do \(0<y={{3}^{x-2}}<1\).

                         \(x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}\) suy ra \(y\) nguyên do \(y\in \{{{3}^{0}};{{3}^{1}};{{3}^{2}};{{3}^{3}};{{3}^{4}};{{3}^{5}};{{3}^{6}}\}\).

    + Vậy có 7 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\) thỏa YCBT.

    ATNETWORK

Mã câu hỏi: 442015

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON