YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho x, y, z là các số thực không âm thỏa \({2^x} + {2^y} + {2^z} = 4\). Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x +y + z?

    • A. 4
    • B. 3
    • C. 2
    • D. 1

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: D

    Với x, y, z là các số thực không âm, nên: \(4 = {2^x} + {2^y} + {2^z} \ge {2^x} + 2 \Leftrightarrow 0 \le x \le 1\).

    Tương tự: \(y,z \in \left[ {0;1} \right]\).

    Ta chứng minh: \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).

    Xét hàm số \(f\left( t \right) = {2^t} - t - 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\).

    \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 - 1\).

    \(f''\left( t \right) = {2^t}{\ln ^2}2 > 0\) ⇒ f'(t) đồng biến.

    ⇒ f'(t) có nhiều nhất 1 nghiệm. Do đó f(t) = 0 có nhiều nhất 2 nghiệm.

    Mặt khác: \(f\left( 0 \right) = f\left( 1 \right) = 0\) nên \(f\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} t = 0\\ t = 1 \end{array} \right.\).

    Suy ra \(f\left( t \right) \le 0,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) hay \({2^t} \le t + 1,\forall t \in \left[ {0;1} \right]\) (*)

    Áp dụng (*), ta được: \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} \le x + 1\\ {2^y} \le y + 1\\ {2^z} \le z + 1 \end{array} \right. \Rightarrow P = x + y + z \ge {2^x} + {2^y} + {2^z} - 3 = 1\).

    \( \Rightarrow {\rm{min }}P = 1\), đạt được khi \(\left\{ \begin{array}{l} {2^x} = x + 1\\ {2^y} = y + 1\\ {2^z} = z + 1\\ {2^x} + {2^y} + {2^z} = 4 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left( {x,y,z} \right) = \left( {0;0;1} \right)\) và các hoán vị.

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 201458

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

AANETWORK
 

XEM NHANH CHƯƠNG TRÌNH LỚP 12

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF