Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ.

Câu hỏi:
Cho khối tứ diện ABCD có thể tích 2020. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD, ACD, BCD. Tính theo V thể tích của khối tứ diện MNPQ.
- A. \(\frac{{2020}}{9}\)
- B. \(\frac{{4034}}{{81}}\)
- C. \(\frac{{8068}}{{27}}\)
- D. \(\frac{{2020}}{{27}}\)
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: D

\(\frac{{{V_{AEFG}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{{{S_{EFG}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{1}{4} \Rightarrow {V_{AEFG}} = \frac{1}{4}{V_{ABCD}}\)

(Do E, F, G lần lượt là trung điểm của BC, BD, CD).

\(\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{AEFG}}}} = \frac{{SM}}{{SE}}.\frac{{SN}}{{SE}}.\frac{{SP}}{{SG}} = \frac{8}{{27}} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{8}{{27}}{V_{AEFG}} = \frac{8}{{27}}.\frac{1}{4}{V_{ABCD}} = \frac{2}{{27}}{V_{ABCD}}\)

Do mặt phẳng \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {BCD} \right)\) nên \(\frac{{{V_{QMNP}}}}{{{V_{AMNP}}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow {V_{QMNP}} = \frac{1}{2}{V_{AMNP}}\)

\({V_{QMNP}} = \frac{1}{2}.\frac{2}{{27}}{V_{ABCD}} = \frac{1}{{27}}{V_{ABCD}} = \frac{{2020}}{{27}}\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE