Cho hàm số (m là tham số thực). Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của m sao cho . Số phần tử của S là

TXĐ: D = R \ {-2}

• Xét m = -4 thì f(x) = 2 thỏa mãn.

• Xét m khác 4. Ta có \(y' = \frac{{4 + m}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) nên hàm số đơn điệu trên mỗi khoảng của tập xác định. Do đó hàm số đơn điệu trên [0;2].

Ta có \(f\left( 0 \right) = - \frac{m}{2};\,f\left( 2 \right) = \frac{{4 - m}}{4}\), giao điểm của đồ thị f(x) với trục hoành là \(\left( {\frac{m}{2};0} \right)\).

TH1: \(0 \le \frac{m}{2} \le 2 \Leftrightarrow 0 \le m \le 4\). Khi đó \(\mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 0\) và \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{{4 - m}}{4}\) hoặc \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = \frac{m}{2}\).

Theo giả thiết ta phải có \(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{4 - m}}{4} = 4}\\ {\frac{m}{2} = 4} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 12}\\ {m = 8} \end{array}} \right.\) (loại).

TH2: \(\frac{m}{2} \notin \left[ {0;2} \right] \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0}\\ {m > 4} \end{array}} \right.\). Khi đó: \(\mathop {\max }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| + \mathop {\min }\limits_{\left[ {0;2} \right]} \left| {f\left( x \right)} \right| = 4 \Leftrightarrow \left| { - \frac{m}{2}} \right| + \,\,\left| {\frac{{4 - m}}{4}} \right| = 4\)

\(\, \Leftrightarrow 2\left| m \right| + \left| {4 - m} \right| = 16 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m = - 4}\\ {m = \frac{{20}}{3}} \end{array}} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\)

Vậy có 3 giá trị của  thỏa mãn bài toán.