Cho tứ diện ABCD, trên các cạnh BC, BD, AC lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho (BC = 3BM,BD = frac{3}{2}BN,AC = 2AP).

Trong (BCD) gọi \(E = MN \cap CD\).

Trong (ACD) gọi \(Q = AD \cap PE\).

Khi đó thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (MNP) là tứ giác MNQP.

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác BCD ta có:

\(\frac{{MB}}{{MC}}.\frac{{EC}}{{ED}}.\frac{{ND}}{{NB}} = 1 \Rightarrow \frac{1}{2}.\frac{{EC}}{{ED}}.\frac{1}{2} = 1 \Leftrightarrow \frac{{EC}}{{ED}} = 4\)

Áp dụng định lí Menelaus trong tam giác ACD ta có:

\(\frac{{PA}}{{PC}}.\frac{{EC}}{{ED}}.\frac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow 1.4.\frac{{QD}}{{QA}} = 1 \Rightarrow \frac{{QD}}{{QA}} = \frac{1}{4}\)

Ta có: \({V_{ABMNQ}} = {V_{ABMN}} + {V_{AMNP}} + {V_{ANPQ}}\)

+)  \(\frac{{{S_{BMN}}}}{{{S_{BCD}}}} = \frac{{BM}}{{BC}}.\frac{{BN}}{{BD}} = \frac{1}{3}.\frac{2}{3} = \frac{2}{9} \Rightarrow \frac{{{V_{ABMN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{2}{9}\)

+)  \(\frac{{{V_{AMNP}}}}{{{V_{AMNC}}}} = \frac{{AP}}{{AC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{1}{2}{V_{AMNC}}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{{S_{NMC}}}}{{{S_{DBC}}}} = \frac{{d\left( {N;BC} \right).MC}}{{d\left( {D;BC} \right).BC}} = \frac{{NB}}{{DB}}.\frac{{MC}}{{BC}} = \frac{2}{3}.\frac{2}{3} = \frac{4}{9}\\
 \Rightarrow \frac{{{V_{AMNC}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{4}{9} \Rightarrow {V_{AMNP}} = \frac{2}{9}{V_{ABCD}}
\end{array}\)

+)  \(\frac{{{V_{APQN}}}}{{{V_{ACDN}}}} = \frac{{AP}}{{AC}}.\frac{{AQ}}{{AD}} = \frac{1}{2}.\frac{4}{5} = \frac{2}{5} \Rightarrow {V_{APQN}} = \frac{2}{5}{V_{ACDN}}\)

\(\begin{array}{l}
\frac{{{S_{CND}}}}{{{S_{CBD}}}} = \frac{{DN}}{{DB}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{{V_{ACDN}}}}{{{V_{ABCD}}}} = \frac{1}{3} \Rightarrow {V_{APQN}} = \frac{2}{{15}}{V_{ABCD}}\\
 \Rightarrow {V_{ABMNQ}} = {V_{ABMN}} + {V_{AMNP}} + {V_{ANPQ}} = \frac{2}{9}{V_{ABCD}} + \frac{2}{9}{V_{ABCD}} + \frac{2}{{15}}{V_{ABCD}} = \frac{{26}}{{45}}{V_{ABCD}}
\end{array}\).

Gọi \({V_1} = {V_{ABMNQ}},{V_2}\) là thể tích phần còn lại \( \Rightarrow \frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{26}}{{19}}\)