Cho số phức z thỏa mãn |z|<=1 đặt A=(2z-1)/(2+iz)

Ta có  \(A = \frac{{2z - i}}{{2 + iz}} \Leftrightarrow 2A + Aiz = 2z - i \Leftrightarrow 2A + i = 2z - Aiz \Leftrightarrow z = \frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}\)

Mà  \(\left| z \right| \le 1 \Rightarrow \left| {\frac{{2A + i}}{{2 - Ai}}} \right| \le 1 \Leftrightarrow \frac{{\left| {2A + i} \right|}}{{\left| {2 - Ai} \right|}} \le 1 \Leftrightarrow \left| {2A + i} \right| \le \left| {2 - Ai} \right|(*)\)

Đặt \(A = x + yi,\) khi đó (*)  

\(\Rightarrow \left| {2x + (2y + 1)i} \right| \le \left| {2 + y - xi} \right| \Rightarrow 4{x^2} + {(2y + 1)^2} \le {(2 + y)^2} + {x^2}\)

\(\Leftrightarrow 4{x^2} + 4{y^2} + 4y + 1 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \le 1 \Rightarrow \left| A \right| \le 1.\)