Cho các số phức z, w thỏa mãn |z+2-2i|=|z-4i|, w=iz+1. Tìm giá trị nhỏ nhất của |w|

Đặt \(z = a + bi\left( {a,b \in\mathbb{R} } \right)\)

Khi đó \(z + 2 - 2i = a + 2 + \left( {b - 2} \right)i\) và \(z - 4i = a + \left( {b - 4} \right)i\) 

Nên ta có \({\left( {a + 2} \right)^2} + {\left( {b - 2} \right)^2} = {a^2} + {\left( {b - 4} \right)^2} \Leftrightarrow a + b = 2 \Leftrightarrow b = 2 - a\) 

Khi đó \(w = iz + 1 = \left( {a + bi} \right)i + 1 = 1 - b + ai\)

\(\Rightarrow \left| w \right| = \sqrt {{a^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{a^2} + {{\left( {a - 1} \right)}^2}}\) 

Dễ thấy  

\({a^2} + {\left( {a - 1} \right)^2} = 2{a^2} - 2a + 1 = 2{\left( {a - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{1}{2} \ge \frac{1}{2} \Rightarrow \left| w \right| \ge \sqrt {\frac{1}{2}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

\(\Rightarrow {\min _{\left| w \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\)