Cho số phức z thỏa mãn \(\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}\). Giá trị lớn nhất của \(\left| z+2i \right|\) bằng:

Gọi \(z=x+yi,\,\left( x,y\in \mathbb{R} \right)\).

Khi đó \(\left| z-1-i \right|+\left| z-3-2i \right|=\sqrt{5}\Leftrightarrow ~\left| \left( x-1 \right)+\left( y-1 \right)i \right|+\left| \left( x-3 \right)+\left( y-2 \right)i \right|=\sqrt{5}\left( 1 \right)\).

Trong mặt phẳng Oxy, đặt \(A\left( 1;1 \right);\,B\left( 3;2 \right); M\left( a;b \right)\).

⇒ Số phức z thỏa mãn \(\left( 1 \right)\) là tập hợp điểm \(M\left( a;b \right)\) trên mặt phẳng hệ tọa độ Oxy thỏa mãn \(MA+MB=\sqrt{5}\).

Mặt khác \(AB=\sqrt{{{\left( 3-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2-1 \right)}^{2}}}=\sqrt{5}\) nên quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB.

Ta có \(\left| z+2i \right|=\left| a+\left( b+2 \right)i \right|\). Đặt \(N\left( 0;-2 \right)\) thì \(\left| z+2i \right|=MN\).

Gọi H là hình chiếu vuông góc của N trên đường thẳng AB.

Phương trình AB:x-2y+1=0 .

Ta có \(H\left( -1;0 \right)\) nên hai điểm A,B nằm cùng phía đối với H.

Ta có \(\left\{ \begin{align} & AN=\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}=\sqrt{10} \\ & BN=\sqrt{{{3}^{2}}+{{\left( 2+2 \right)}^{2}}}=5 \\ \end{align} \right.\).

Vì M thuộc đoạn thẳng AB nên áp dụng tính chất đường xiên và hình chiếu ta có \(AN\le MN\le BN=5\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(\left| z+2i \right|\) bằng 5 đạt được khi \(M\equiv B\left( 3;2 \right)\), tức là z=3+2i.