Cho hàm số \(y=f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) có đồ thị \(y={f}'\left( x \right)\) cho như hình dưới đây. Đặt \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\). Mệnh đề nào dưới đây đúng.

Ta có \(g\left( x \right)=2f\left( x \right)-{{\left( x+1 \right)}^{2}}\)

\(\Rightarrow {g}'\left( x \right)=2{f}'\left( x \right)-\left( 2x+2 \right)=0\Leftrightarrow {f}'\left( x \right)=x+1\). Quan sát trên đồ thị ta có hoành độ giao điểm của \({f}'\left( x \right)\) và y=x+1 trên khoảng \(\left( -3;3 \right)\) là x=1.

Vậy ta so sánh các giá trị \(g\left( -3 \right), g\left( 1 \right), g\left( 3 \right)\)

Xét \(\int\limits_{-3}^{1}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x>0\)

\(\Leftrightarrow g\left( 1 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 1 \right)>g\left( -3 \right)\).

Tương tự xét \(\int\limits_{1}^{3}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x<0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( 1 \right)<0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)<g\left( 1 \right)\).

Xét \(\int\limits_{-3}^{3}{{g}'\left( x \right)}\text{d}x=2\int\limits_{-3}^{1}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x+2\int\limits_{1}^{3}{\left[ {f}'\left( x \right)-\left( x+1 \right) \right]}\text{d}x>0\)

\(\Leftrightarrow g\left( 3 \right)-g\left( -3 \right)>0\Leftrightarrow g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)\). Vậy ta có \(g\left( 1 \right)>g\left( 3 \right)>g\left( -3 \right)\).

Vậy \(\underset{\left[ -3;3 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=g\left( 1 \right)\).