Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’BC) bằng a và AA’ hợp với mặt phẳng (A’BC) một góc 30 độ

Dựng \(A{\rm{E}} \bot BC;\,{\rm{AF}} \bot A'E\) khi đó \({\rm{AF}} \bot \left( {A'BC} \right).\)

Ta có: \({\rm{AF}} = d\left( {A,\left( {A'BC} \right)} \right) = a,\,\widehat {{\rm{AA'}}F} = {30^o}.\)

Suy ra: \({\rm{AA'}}\sin {30^o} = {\rm{AF}} \Rightarrow {\rm{AA'}} = 2{\rm{a}};\,\,A{\rm{E}} = {\rm{AA'}}.tan{30^o} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 3 }}.\)

Mặt khác: \(\frac{{AB\sqrt 3 }}{2} = A{\rm{E}} = \frac{{2{\rm{a}}}}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow AB = \frac{{4{\rm{a}}}}{3};\,\,{S_{ABC}} = \frac{{{\rm{4}}{{\rm{a}}^2}\sqrt 3 }}{9}.\)

Vậy \(V = {S_{ABC}}.{\rm{AA'}} = \frac{{8{{\rm{a}}^3}\sqrt 3 }}{9}.\)