Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết AC’ tạo với mặt phẳng (A'B'C) một góc 60^0 và AC' = 4a.

Ta có:

\({V_{A.A'B'C'}} + {V_{A.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}}\)

\(\begin{array}{l}
 \Rightarrow {V_{A.BCC'B'}} = {V_{ABC.A'B'C'}} - \\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}}
\end{array}\)

\(= \frac{2}{3}{V_{ABC.A'B'C'}}\)

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng 

\(\Rightarrow \widehat {\left( {AC';\left( {A'B'C'} \right)} \right)}= \widehat {AC'H} = {60^0}\)

Khi đó

\(\sin \widehat {AC'H} = \frac{{AH}}{{AC'}} \)

\(\Rightarrow AH = \sin {60^0}.4a = 2a\sqrt 3\)

\(\Rightarrow {V_{ABC.A'B'C'}} = AH.{S_{\Delta A'B'C'}}\)
\(= 2a\sqrt 3 .\frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{3{a^3}}}{2}\)

Vậy thể tích của khối đa diện cần tìm là: 

\({V_{A.BCC'B'}} = \frac{2}{3}.{V_{ABC.A'B'C'}}\)

\(= \frac{2}{3}.\frac{{3{a^3}}}{2} = {a^3}\).