Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết hình chóp S.ABC có thể tích bằng \(a^3\). Tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (SBC).

Gọi các điểm như hình vẽ.

Ta có \(AI \bot BC,SA \bot BC \)

\(\Rightarrow BC \bot \left( {SAI} \right)\) 

Suy ra \(BC \bot AK \Rightarrow AK = {d_{\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right)}}\)

Ta có: \(V = {a^3},{S_{\Delta ABC}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} \)

\(\Rightarrow SA = 4a\sqrt 3\) mà \(AI = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Trong tam giác vuông SAI ta có:

\(\frac{1}{{A{K^2}}} = \frac{1}{{A{S^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}}\)

Vậy \(d = AK = \sqrt {\frac{{A{S^2}.A{I^2}}}{{A{S^2} + A{I^2}}}} = \frac{{4a\sqrt {195} }}{{65}}.\)