Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và cạnh \(BAC={{120}^{0}}\), cạnh bên BB'=a, gọi I là trung điểm của CC’. Côsin góc tạo bởi mặt phẳng (ABC) và (AB’I) bằng:

Trong (ACC'A') kéo dài AI cắt AC’tại D.

Trong (A'B'C') kẻ \(A'H \bot B'D\) ta có:

\(\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} A'H \bot B'D\\ A\,A' \bot B'D \end{array} \right. \Rightarrow B'D \bot \left( {A\,A'H} \right) \Rightarrow AH \bot B'D\\ \left\{ \begin{array}{l} \left( {AB'I} \right) \cap \left( {A'B'C'} \right) = B'D\\ \left( {A'B'C} \right) \supset A'H \bot B'D\\ \left( {AB'I} \right) \supset AH \bot B'D \end{array} \right.\\ \Rightarrow \left( {\left( {AB'I} \right);\left( {A'B'C'} \right)} \right) = \left( {A'H;AH} \right) = \widehat {AHA'} \end{array}\)

Ta dễ dàng chứng minh được C’ là trung điểm của AD’

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{B'A'D}} = \frac{1}{2}d\left( {B';A'D} \right).A'D = \frac{1}{2}.d\left( {B';A'C'} \right).2A'C = 2{S_{A'B'C'}}\\ \Rightarrow {S_{B'A'D}} = 2.\frac{1}{2}.a.a.\sin {120^0} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2} \end{array}\)

Xét tam giác có

\(\begin{array}{l} B'D = \sqrt {A'B{'^2} + A'{D^2} - 2A'B'.A'D.c{\rm{os}}{{120}^0}} = \sqrt {{a^2} + 4{a^2} + 2{a^2}} = a\sqrt 7 \\ \Rightarrow A'H = \frac{{2{S_{A'B'D}}}}{{B'D}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{{a\sqrt 7 }} = \frac{{a\sqrt {21} }}{7} \end{array}\) 

Xét tam giác vuông AA'H có :

\(AH = \sqrt {A\,A{'^2} + A'{H^2}} = \sqrt {{a^2} + \frac{3}{7}{a^2}} = \frac{{a\sqrt {70} }}{7}\)

\( \Rightarrow c{\rm{os}}\,\widehat {AHA'} = \frac{{A'H}}{{AH}} = \frac{{\frac{{a\sqrt {21} }}{7}}}{{\frac{{a\sqrt {70} }}{7}}} = \frac{{\sqrt {30} }}{{10}}\)