Cho hình chóp S.ABC tính khoảng cách từ C đến (SAB) biết ABC vuông tại A, góc ABC=30 độ, SBC là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy

Gọi E là trung điểm cuả BC khi đó: \(SE \bot \left( {ABC} \right)\) và \(SE = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Ta có:  \(BC = a \Rightarrow AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};AC = \frac{a}{2}\)

Vậy thể tích của khối chóp là: \({V_{S.ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{1}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.\frac{a}{2}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{{a^3}}}{{16}}\).

Để tính khoảng cách từ C đến (SAB) ta cần tính diện tích tam giác SAB.

Ta có:  \(AB = \frac{{a\sqrt 3 }}{2};\,SB = a;\,SA = \sqrt {S{E^2} + E{A^2}} = \sqrt {{{\left( {\frac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}} = a\)

Áp dụng công thức Heron ta được:

\({S_{\Delta SAB}} = \sqrt {p(p - SA)(p - SB)(p - AB)} = \frac{{\sqrt {39} }}{{16}}{a^2}\)

\(d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{3{V_{S.ABC}}}}{{{S_{\Delta SAB}}}} = \frac{{a\sqrt {39} }}{{13}}\)