Cho hình chóp \(S.ABC\)có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right),SA=a,AB=a\),\(AC=2a,\) \(\widehat{BAC}={{60}^{0}}.\) Tính diện tích hình cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC\).

Gọi \(I\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng qua \(I\) và vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right).\)

\(\Rightarrow \Delta \) là trục đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC.\)

Gọi \(E\) là trung điểm \(SA.\)

Trong \(\left( SA,\Delta  \right),\) gọi \(O\) là giao điểm của \(\Delta \) với đường trung trực cạnh \(SA.\)

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l} OA = OB = OC\left( {O \in \Delta } \right)\\ OS = OA \end{array} \right..\)

\(\Rightarrow OS=OA=OB=OC\)

\(\Rightarrow O\) là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp \(S.ABC,\) bán kinh \)R=OA.\)

\(B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+A{{C}^{2}}-2.AB.AC.\cos {{60}^{0}}=3{{a}^{2}}.\)

\(\Rightarrow BC=a\sqrt{3}.\)

\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin {{60}^{0}}=\frac{1}{2}.a.2a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}.\)

\({{S}_{\Delta ABC}}=\frac{AB.AC.BC}{4{{R}_{\left( ABC \right)}}}\Leftrightarrow {{R}_{\left( ABC \right)}}=\frac{AB.AC.BC}{4{{S}_{\Delta ABC}}}=\frac{a.2a.a\sqrt{3}}{4.\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}}=a.\)

\(\Rightarrow AI=a.\)

Tứ giá \(AEOI\) là hình chữ nhật \(\Rightarrow AO=\sqrt{A{{E}^{2}}+A{{I}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{5}}{2}\)

\(\Rightarrow R=\frac{a\sqrt{5}}{2}.\)

Diện tích mặt cầu: \(S=4\pi {{\left( \frac{a\sqrt{5}}{2} \right)}^{2}}=5\pi {{a}^{2}}.\)