Cho \(4\) số \(a,\,b,\,c,\,d\) thỏa mãn điều kiện \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\) và \(3c+4d=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}\) ?

Ta có: \({{a}^{2}}+{{b}^{2}}=4a+6b-9\Leftrightarrow {{\left( a-2 \right)}^{2}}+{{\left( b-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.\)

Trong hệ trục tọa độ \(Oxy\) gọi \(A\left( a;b \right),B\left( c;d \right).\)

Khi đó \(A\left( a;b \right)\) nằm trên đường tròn tâm \(I\left( 2;3 \right)\) bán kính \(R=2\) có phương trình: \({{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}={{2}^{2}}.\) \(B\left( c;d \right)\) nằm trên đường thẳng: \(3x+4y=1.\)

Vì \(\overrightarrow{BA}=\left( a-c;b-d \right)\) nên \(P={{\left( a-c \right)}^{2}}+{{\left( b-d \right)}^{2}}={{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}}.\) Khi đó \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(\left| \overrightarrow{BA} \right|\) nhỏ nhất.

Khoảng cách từ \(I\) đến \(\left( \Delta  \right):{{d}_{\left( I,\left( \Delta  \right) \right)}}=\frac{3.2+4.3-1}{\sqrt{{{3}^{2}}+{{4}^{2}}}}=\frac{17}{5}.\) Vì \({{d}_{\left( I,\left( \Delta  \right) \right)}}>R\) nên \(\left( I \right)\) và \(\left( \Delta  \right)\) không giao nhau.

Suy ra \(\left| \overrightarrow{BA} \right|\) nhỏ nhất khi \(I,A,B\) thẳng hàng và \(A\) nằm giữa \(I,B\) và \(IB\bot \left( \Delta  \right)\) như hình sau.

\(\min \left( \left| \overrightarrow{BA} \right| \right)={{d}_{\left( \mathsf{I,}\left( \Delta  \right) \right)}}-R=\frac{17}{5}-2=\frac{7}{5}.\)

\(\min \left( P \right)=\min \left( {{\left| \overrightarrow{BA} \right|}^{2}} \right)={{\left( \frac{7}{5} \right)}^{2}}=\frac{49}{25}.\)