Cho hàm số \(f(x)\) liên tục trên \(\left[ 2;4 \right]\) và có bảng biến thiên như hình vẽ bên Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=m.f(x)\) có nghiệm thuộc đoạn \(\left[ 2;4 \right]\) ?

Ta có: \(x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}=mf\left( x \right)\Leftrightarrow m=\frac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}\)

Số nghiệm của phương trình \(m=\frac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}\) bằng số giao điểm của hàm số \(y=\frac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}\) với đường thẳng \(y=m.\)

Đặt \(g\left( x \right)=x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}\)

Ta có \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=2\) tại \(x=2,\) \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=4+4\sqrt{2}\) tại \(x=4\)

            \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=2\) tại \(x=4,\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=4\) tại \(x=2\)

Do \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=2\) và \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)=4\) đều đồng thời xảy ra tại \(x=2\)

Suy ra: \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,\left( \frac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)} \right)=\frac{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)}{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

Do \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=2\) và \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)=4+4\sqrt{2}\) đều đồng thời xảy ra tại \(x=4\)

Suy ra: \(\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,\left( \frac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)} \right)=\frac{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\max }}\,g\left( x \right)}{\underset{\left[ 2;4 \right]}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)}=\frac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}\)

Mà hàm số \(y=\frac{x+2\sqrt{{{x}^{2}}-2x}}{f\left( x \right)}\) liên tục trên đoạn \(\left[ 2;4 \right].\)

Vậy \(\frac{1}{2}\le m\le 2+2\sqrt{2},\) mà \(m\) nguyên nên \(m\) nhận các giá trị \(\left\{ 1;2;3;4 \right\}\) nên chọn đáp án D.