Cho hàm số \(y=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+\left| 2x \right| \right)\) và \(y=-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3\) có đồ thị lần lượt là \(\left( {{C}_{1}} \right)\) và \(\left( {{C}_{2}} \right)\) . có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \)m\) trên đoạn \(\left[ -2020;2020 \right]\) để \(\left( {{C}_{1}} \right)\) cắt \(\left( {{C}_{2}} \right)\) tại \(3\) điểm phân biệt.

Nhận thấy \(-1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{3}\) không là nghiệm của phương trình:

\(-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3=\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)\left( m+2\left| x \right| \right)\left( 1 \right).\)

Nên \(\left( 1 \right)\Rightarrow m+2\left| x \right|=\frac{-12{{x}^{4}}-22{{x}^{3}}-{{x}^{2}}+10x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}=-2x+\frac{11{{x}^{2}}+12x+3}{\left( x+1 \right)\left( 2x+1 \right)\left( 3x+1 \right)}.\)

\(\Leftrightarrow m=-2\left| x \right|-2x+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{3x+1}.\)

Xét hàm số \(f\left( x \right)=-2\left| x \right|-2x+\frac{1}{x+1}+\frac{1}{2x+1}+\frac{1}{3x+1}\) trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right\}.\)

Ta có: \(f'\left( x \right)=\frac{-2x}{\left| x \right|}-2-\frac{1}{{{\left( x+1 \right)}^{2}}}-\frac{2}{{{\left( 2x+1 \right)}^{2}}}-\frac{3}{{{\left( 3x+1 \right)}^{2}}}<0,\forall x\in \mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right\}\)

Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy, phương trình \(m=f\left( x \right)\) có 3 nghiệm phân biệt trên \(\mathbb{R}\backslash \left\{ -1;-\frac{1}{2};-\frac{1}{3} \right\}\) khi và chỉ khi \(m\ge 0.\)

Mặt khác: \(\left\{ \begin{array}{l} m \in Z\\ m \in \left[ { - 2020;2020} \right] \end{array} \right. \Rightarrow m \in \left\{ {0;1;...;2020} \right\}.\)

Vậy có 2021 giá trị m cần tìm.