Cho hình chóp S.ABC có góc ASB=BSC=CSA=60 độ, SA=3, SB=4, SC=5, tính khoảng cách từ C đến (SAB)

Trên cạnh SB, SC lần lượt lấy B’, C’ sao cho SB’=SC’=SA=3.

Suy ra SAB’C’ là tứ diện đều cạnh bằng 3.

SAB’ là tam giác đều cạnh bằng 3.

Ta có:

\({S_{SAB}} = \frac{{{3^2}\sqrt 3 }}{4} = \frac{{9\sqrt 3 }}{4}\)

\({V_{S.A'B'C'}} = \frac{{{3^2}\sqrt {12} }}{{12}} = \frac{{9\sqrt 2 }}{4} = \frac{1}{3}d\left( {C',(SAB)} \right).{S_{SAB}}\)

\(\Rightarrow d\left( {C',(SAB)} \right) = \frac{{3.{V_{S.A'B'C'}}}}{{{S_{SAB}}}} = \sqrt 6\)

Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của C và C’ lên mặt phẳng (SAB)

Do S, C, C’ thẳng hàng nên S, K, H thẳng hàng.

Ta có:  \(\Delta SHC \sim \Delta SKC'\)(Chung góc \($\widehat S,\widehat {SHC} = \widehat {SHK} = {90^0}$\) )

Nên:

\(\frac{{SC}}{{SC'}} = \frac{{CH}}{{C'K}} = \frac{{d\left( {C,(SAB)} \right)}}{{d\left( {C',(SAB)} \right)}} = \frac{3}{5}\)

\(\Rightarrow d\left( {C,\left( {SAB} \right)} \right) = \frac{{5\sqrt 6 }}{3}\)