Cho hàm số \(y = \left| {{x^3} - m{x^2} + 9} \right|\). Gọi \(S\) là tập tất cả các số tự nhiên \(m\) sao cho hàm số đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\). Tổng các phần tử của \(S\) là

Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = {x^3} - m{x^2} + 9\) có \(y' = 3{x^2} - 2mx = x\left( {3x - 2m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \dfrac{{2m}}{3}\end{array} \right.\).

+) Nếu \(m = 0\) thì \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\) (thỏa mãn).

+) Nếu \(m \in {\mathbb{N}^*}\) thì \(x = \dfrac{{2m}}{3} > 0\) nên ta có bảng biến thiên của hàm số \(y = f\left( x \right)\) như sau:

TH1: \(9 - \dfrac{{4{m^3}}}{{27}} \ge 0 \Leftrightarrow m \le \sqrt[3]{{\dfrac{{243}}{4}}}\) thì \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có bảng biến thiên:

Khi đó hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) \( \Leftrightarrow \dfrac{{2m}}{3} \le 2 \Leftrightarrow m \le 3\).

Kết hợp với \(m \le \sqrt[3]{{\dfrac{{243}}{4}}}\) và \(m \ne 0\) ta được \(0 < m \le 3\).

TH2: \(0 < 9 - \dfrac{{4{m^3}}}{{27}} < 9 \Leftrightarrow m > \sqrt[3]{{\dfrac{{243}}{4}}}\).

Khi đó \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) có bảng biến thiên:

Khi đó hàm số \(y = \left| {f\left( x \right)} \right|\) đồng biến trên \(\left[ {2; + \infty } \right)\) thì \(\dfrac{{2m}}{3} < {x_3} < 2 \Leftrightarrow m < 3\) (mâu thuẫn với \(m > \sqrt[3]{{\dfrac{{243}}{4}}} \approx 3,93\)) nên trường hợp này không có giá trị của \(m\) thỏa mãn.

Vậy \(0 \le m \le 3\) và \(m \in \mathbb{N}\) nên \(m \in \left\{ {0;1;2;3} \right\}\) và tổng các giá trị của \(m\) là \(0 + 1 + 2 + 3 = 6\).

Chọn A.