Cho hai mặt phẳng \(\left( P \right)\)và \(\left( Q \right)\) song song với nhau

Chọn D

\(d\left( \left( P \right),\left( Q \right) \right)=O{O}'=h\); \(AB=R\).

\(\Delta OAB\) vuông tại \(O\) nên \(OA=\sqrt{A{{B}^{2}}-O{{B}^{2}}}=\sqrt{{{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}}.\)

\(\Delta OA{O}'\) vuông tại \(O\) nên \({O}'A=\sqrt{{O}'{{O}^{2}}+O{{A}^{2}}}=\sqrt{{{h}^{2}}+{{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4}}=\sqrt{{{R}^{2}}+\frac{3{{h}^{2}}}{4}}.\)

Diện tích xung quanh của hình nón: \(S=\pi .OA.{O}'A=\pi .\sqrt{\left( {{R}^{2}}-\frac{{{h}^{2}}}{4} \right).\left( {{R}^{2}}+\frac{3{{h}^{2}}}{4} \right)}\).

Đặt \(x=\frac{{{h}^{2}}}{4},x>0\).

Xét \(f\left( x \right)=\pi .\sqrt{\left( {{R}^{2}}-x \right).\left( {{R}^{2}}+3x \right)}=\pi .\sqrt{{{R}^{4}}+2{{R}^{2}}x-3{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( 0;{{R}^{2}} \right]\).

\({f}'\left( x \right)=\pi .\frac{2{{R}^{2}}-6x}{2\sqrt{\left( {{R}^{2}}-x \right).\left( {{R}^{2}}+3x \right)}}\).

\({f}'\left( x \right)=0\Leftrightarrow 2{{R}^{2}}-6x=0\Leftrightarrow x=\frac{{{R}^{2}}}{3}\).

Diện tích xung quanh của hình nón đạt giá trị lớn nhất khi \(f\left( x \right)\) đạt giá trị lớn nhất trên \(\left( 0;{{R}^{2}} \right]\). Khi đó \(x=\frac{{{R}^{2}}}{3}\Leftrightarrow \frac{{{h}^{2}}}{4}=\frac{{{R}^{2}}}{3}\Leftrightarrow {{h}^{2}}=\frac{4{{R}^{2}}}{3}\Rightarrow h=\frac{2R\sqrt{3}}{3}=\frac{2\left( 4\sqrt{3} \right)\sqrt{3}}{3}=8\).