Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m\text{ }\left( C \right)\), với \(m\) là tham số. Giả sử đồ thị \(\left( C \right)\)

Câu hỏi:
Cho hàm số \(y={{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m\text{ }\left( C \right)\), với \(m\) là tham số. Giả sử đồ thị \(\left( C \right)\) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ thỏa mãn \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\). Khẳng định nào sau đây đúng?
- A. \(1<{{x}_{1}}<3<{{x}_{2}}<4<{{x}_{3}}\).
- B. \(1<{{x}_{1}}<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4\).
- C. \(0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4\).
- D. \({{x}_{1}}<0<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4\).
Lời giải tham khảo:

Đáp án đúng: C
Chọn C

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) với trục hoành \({{x}^{3}}-6{{x}^{2}}+9x+m=0\Leftrightarrow m=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x\) (1). Xét hàm số \(f\left( x \right)=-{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x\) với \(x\in \mathbb{R}\).

Ta có \(f'\left( x \right)=-3{{x}^{2}}+12x-9=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.\).

Ta có \(f\left( x \right)=0\Leftrightarrow -{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x=0\)

\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=0 \\ & x=3 \\ \end{align} \right.\)

và

\(f\left( x \right)=-4\\\Leftrightarrow -{{x}^{3}}+6{{x}^{2}}-9x=-4\\\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=1 \\ & x=4 \\ \end{align} \right.\)

.BBT của hàm số \(f\left( x \right)\)

Đồ thị (C) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ thoả mãn \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\)

\(\Leftrightarrow \) Phương trình (1) có 3 nghiệm \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<\,{{x}_{3}}\)

\(\Leftrightarrow \) Đường thẳng \(y=m\) cắt đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) tại 3 điểm có hoành độ \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\)

Dựa vào BBT ta suy ra \(0<{{x}_{1}}<1<{{x}_{2}}<3<{{x}_{3}}<4\).

Hãy suy nghĩ và trả lời câu hỏi trước khi HOC247 cung cấp đáp án và lời giải

ADSENSE