Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0\le x\le 4000\) và

Có bao nhiêu cặp số nguyên \(\left( x;y \right)\) thỏa mãn \(0\le x\le 4000\) và \(5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4\)?

• A. 5
• B. 2
• C. 4

  Chọn D

  Ta có: \(5\left( {{25}^{y}}+2y \right)=x+{{\log }_{5}}{{\left( x+1 \right)}^{5}}-4\Leftrightarrow 5{{\log }_{5}}\left( x+1 \right)+x+1={{5}^{2y+1}}+5\left( 2y+1 \right)\). \(\left( 1 \right)\)

  Đặt \({{\log }_{5}}\left( x+1 \right)=t\Rightarrow x+1={{5}^{t}}\).

  Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành: \(5t+{{5}^{t}}=5\left( 2y+1 \right)+{{5}^{2}}^{y+1}\) \(\left( 2 \right)\)

  Xét hàm số \(f\left( u \right)=5u+{{5}^{u}}\) trên \(\mathbb{R}\).

  \({f}'\left( u \right)=5+{{5}^{u}}\ln 5>0\,,\,\forall u\in \mathbb{R}\) nên hàm số \(f\left( u \right)\) đồng biến trên \(\mathbb{R}\).

  Do đó \(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( t \right)=f\left( 2y+1 \right)\Leftrightarrow t=2y+1\)\(\Rightarrow {{\log }_{5}}\left( x+1 \right)=2y+1\Leftrightarrow x+1={{5}^{2y+1}}\Leftrightarrow x={{5.25}^{y}}-1\)

  Vì \(0\le x\le 4000\Rightarrow 0\le {{5.25}^{y}}-1\le 4000\Leftrightarrow \frac{1}{5}\le {{25}^{y}}\le \frac{4001}{5}\Leftrightarrow \frac{-1}{2}\le y\le {{\log }_{25}}\frac{4001}{5}\approx 2.08\)

  Do \(y\in \mathbb{Z}\Rightarrow y\in \left\{ 0\,,\,1\,,\,2\, \right\}\), có 3 giá trị của y nên cũng có 3 giá trị của \(x\)

  Vậy có 3 cặp số nguyên \(\left( x\,;\,y \right)\).

• D. 3