Cho hình chóp \(S.ABC\) có \(AB=4a,BC=3\sqrt{2}a,\)\(\widehat{ABC}=45{}^\circ ;\widehat{SAC}=\widehat{SBC}=90{}^\circ \);

Chọn A

Do \(SA\bot AC,\,SB\bot BC\) nên \(S,A,B,C\) nằm trên mặt cầu đường kính \(SC\),

Ta có \(A{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}+B{{C}^{2}}-2AB.BC.\sin {{45}^{0}}=10{{a}^{2}}\Rightarrow AC=a\sqrt{10}\).

Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(S\) lên \(\left( ABC \right)\).

Ta có \(CA\bot SA\) và \(CA\bot SH\) nên \(CA\bot HA\).

Tương tự: \(CB\bot HB\).

Khi đó \(ABCH\) nội tiếp đường tròn đường kính \(HC\) nên \(HC=\frac{AC}{\sin {{45}^{0}}}=2\sqrt{5}a\).

Ta có: \(HB=\sqrt{H{{C}^{2}}-B{{C}^{2}}}=a\sqrt{2}\)

Gọi \(K,I\) là hình chiếu vuông góc của \(C\) và của \(H\) lên \(AB\). Khi đó \(\Delta CKB\) và \(\Delta HIB\)vuông cân nên \(CK=\frac{3\sqrt{2}a}{\sqrt{2}}=3a\) và \(HI=\frac{HB}{\sqrt{2}}=a\).

Do đó \(\frac{d\left( H,\left( SAB \right) \right)}{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}=\frac{HI}{CK}=\frac{1}{3}\)

Ta có \(\sin \alpha =\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow \frac{d\left( C,\left( SAB \right) \right)}{CB}=\frac{\sqrt{2}}{4}\Rightarrow d\left( C,\left( SAB \right) \right)=CB.\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{3a}{2}\Rightarrow d\left( H,\left( SAB \right) \right)=\frac{a}{2}\).

Khi đó \(\frac{1}{S{{H}^{2}}}=\frac{1}{{{d}^{2}}\left( H,\left( SAB \right) \right)}-\frac{1}{H{{I}^{2}}}=\frac{4}{{{a}^{2}}}-\frac{1}{{{a}^{2}}}=\frac{3}{{{a}^{2}}}\Rightarrow S{{H}^{2}}=\frac{{{a}^{2}}}{3}\).

Vậy \(SC=\sqrt{S{{H}^{2}}+H{{C}^{2}}}=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{3}+20{{a}^{2}}}=\frac{a\sqrt{183}}{3}\), suy ra bán kính mặt cầu \(R=\frac{a\sqrt{183}}{6}\).