YOMEDIA
NONE
  • Câu hỏi:

    Cho các số thực a, b thỏa mãn \(0 < a < 1 < b,ab > 1\). Giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = {\log _a}ab + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}}\) bằng

    • A. 3
    • B. - 4
    • C. 4
    • D. 2

    Lời giải tham khảo:

    Đáp án đúng: B

    \(\begin{array}{l}
    P = {\log _a}ab + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).{{\log }_{\frac{a}{b}}}ab}} = 1 + {\log _a}b + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\frac{{{{\log }_a}ab}}{{{{\log }_a}\frac{a}{b}}}}}\\
     = 1 + {\log _a}b + \frac{4}{{\left( {1 - {{\log }_a}b} \right).\frac{{1 + {{\log }_a}b}}{{1 - {{\log }_a}b}}}} = 1 + {\log _a}b + \frac{4}{{{{\log }_a}b + 1}}
    \end{array}\) 

    Do \(0<a<1<b\) nên \(1 + {\log _a}b < 0\). Áp dụng BĐT Cô si ta có:

    \( - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right) + \frac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}} \ge 2\sqrt {\left[ { - \left( {1 + {{\log }_a}b} \right)} \right].\frac{4}{{ - \left( {{{\log }_a}b + 1} \right)}}}  = 4 \Rightarrow P \le  - 4\) 

    \({P_{\max }} =  - 4\) khi và chỉ khi \(1 + {\log _a}b =  - 2 \Leftrightarrow {\log _a}b =  - 3 \Leftrightarrow b = \frac{1}{{{a^3}}}\)

    ADSENSE

Mã câu hỏi: 67307

Loại bài: Bài tập

Chủ đề :

Môn học: Toán Học

Câu hỏi này thuộc đề thi trắc nghiệm dưới đây, bấm vào Bắt đầu thi để làm toàn bài

 
YOMEDIA

Hướng dẫn Trắc nghiệm Online và Tích lũy điểm thưởng

 

 

CÂU HỎI KHÁC

ZUNIA9
 

 

YOMEDIA
AANETWORK
OFF