Cho bất phương trình \({{\log }_{3a}}11+{{\log }_{\frac{1}{7}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+3ax+10}+4 \right).{{\log }_{3a}}\left( {{x}^{2}}+3ax+12 \right)\ge 0.\) Giá trị thực của tham số a để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Đặt m=3a khi đó bất phương trình đã cho trở thành

\({{\log }_{m}}11+{{\log }_{\frac{1}{7}}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+mx+10}+4 \right).{{\log }_{m}}\left( {{x}^{2}}+mx+12 \right)\ge 0 \left( 1 \right)\)

Điều kiện của bất phương trình là \(m>0;m\ne 1;{{x}^{2}}+mx+10\ge 0.\) Ta có:

\(\left( 1 \right)\Leftrightarrow \frac{1-{{\log }_{7}}\left( \sqrt{{{x}^{2}}+mx+10}+4 \right).{{\log }_{11}}\left( {{x}^{2}}+mx+12 \right)}{{{\log }_{11}}m}\ge 0 \left( 2 \right)\)

Đặt \(u={{x}^{2}}+mx+10,u\ge 0.\)

* Với 0<m<1. Ta có

\(\left( 2 \right)\Leftrightarrow f\left( u \right)={{\log }_{7}}\left( \sqrt{u}+4 \right).{{\log }_{11}}\left( u+2 \right)\ge 1=f\left( 9 \right). \left( 3 \right)\)

Vì \(f\left( u \right)\) là hàm tăng trên \(\left( 0;+\infty  \right)\) nên từ \(\left( 3 \right)\) ta có

\(f\left( u \right)\ge f\left( 9 \right)\Leftrightarrow u\ge 9\Leftrightarrow {{x}^{2}}+mx+1\ge 0. \left( 4 \right)\)

\(\left( 4 \right)\) vô số nghiệm vì \(\Delta ={{m}^{2}}-4<0\) với \(\forall m\in \left( 0;1 \right).\) Suy ra 0<m<1 không thỏa bài toán.

* Với m>1. Ta có

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow f\left( u \right) \le f\left( 9 \right) \Leftrightarrow 0 \le u \le 9 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {x^2} + mx + 10 \ge 0{\rm{ }}\left( 5 \right)\\ {x^2} + mx + 1 \le 0{\rm{ }}\left( 6 \right) \end{array} \right.\)

Xét \(\left( 6 \right)\), ta có \(\Delta ={{m}^{2}}-4.\)

+ \({{m}^{2}}-4<0\Leftrightarrow 1<m<2\) thì \(\left( 6 \right)\) vô nghiệm. Không thỏa bài toán.

+ \({{m}^{2}}-4>0\Leftrightarrow m>2\) thì \(\left( 6 \right)\) có nghiệm là đoạn \(\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]\), lúc này \(\left( 5 \right)\) nhận hơn 1 số của \(\left[ {{x}_{1}};{{x}_{2}} \right]\) làm nghiệm. Không thỏa bài toán.

+ \({{m}^{2}}-4=0\Leftrightarrow m=2\) thì \(\left( 6 \right)\) có nghiệm duy nhất x=-1 và x=-1 thỏa \(\left( 5 \right).\) Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=-1.

Vậy \(m=2\Leftrightarrow a=\frac{2}{3}.\)