Cho hai số phức \({{z}_{1}},{{z}_{2}}\) thỏa mãn \(\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5,\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|.\) Giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) là

Đặt \({{z}_{1}}={{x}_{1}}+{{y}_{1}}i,\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}\in \mathbb{R} \right);{{z}_{2}}={{x}_{2}}+{{y}_{2}}i,\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}}\in \mathbb{R} \right)\)

Ta có \(\left| {{z}_{1}}+5 \right|=5\Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{1}}+5 \right)+{{y}_{2}}i \right|=5\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{1}}+5 \right)}^{2}}+y_{2}^{2}=25.\)

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn số phức \({{z}_{1}}\) là đường tròn \(\left( C \right):{{\left( x+5 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=25.\)

Ta có \(\left| {{z}_{2}}+1-3i \right|=\left| {{z}_{2}}-3-6i \right|\Leftrightarrow \left| \left( {{x}_{2}}+1 \right)+\left( {{y}_{2}}-3 \right)i \right|=\left| \left( {{x}_{2}}-3 \right)+\left( {{y}_{2}}-6 \right)i \right|\)

\(\Leftrightarrow {{\left( {{x}_{2}}+1 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-3 \right)}^{2}}={{\left( {{x}_{2}}-3 \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{2}}-6 \right)}^{2}}\Leftrightarrow 8{{x}_{2}}+6{{y}_{2}}=35.\)

Suy ra tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \({{z}_{2}}\) là đường thẳng \(\Delta :8x+6y=35.\)

\(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( -5;0 \right)\), bán kính R=5.

Khoảng cách từ I đến \(\Delta \) là \(d\left( I,\left( \Delta  \right) \right)=\frac{\left| 8.\left( -5 \right)+6.0-35 \right|}{\sqrt{{{8}^{2}}+{{6}^{2}}}}=\frac{75}{10}=\frac{15}{2}>R.\)

Suy ra \(\Delta \) không cắt \(\left( C \right)\). Do đó, nếu gọi d là đường thẳng qua I và vuông góc với \(\Delta ,d\) cắt \(\left( C \right)\) và \(\Delta \) lần lượt tại M,N và H thì một trong hai đoạn thẳng HM,HN là khoảng cách ngắn nhất nối hai điểm bất kỳ thuộc \(\left( C \right)\) và \(\Delta .\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|\) là

\({{\left| {{z}_{1}}-{{z}_{2}} \right|}_{\min }}=HM=d\left( I,\Delta  \right)-R=\frac{15}{2}-5=\frac{5}{2}.\)