Hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A với \(AB=a,\widehat{ACB}={{30}^{0}}\) và SA=SB=SD với D là trung điểm BC. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC bằng \(\frac{3a}{4}.\) Tính cos góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right)\).

Do tam giác ABC vuông tại A có D là trung điểm BC và \(\widehat{ACB}={{60}^{0}}\) nên tam giác ABD đều cạnh a và \(BC=2a,CA=a\sqrt{3}.\)

Dựng \(SH\bot \left( ABC \right)\) với \(H\in \left( ABC \right)\)

\(\Rightarrow H\) là tâm tam giác đều BAD do SA=SB=SD.

Gọi hình chiếu của H lên AB,AC thứ tự là E,F

Gọi M là trung điểm đoạn BD.

\(\Rightarrow AM=\sqrt{B{{A}^{2}}-B{{M}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}-\frac{{{a}^{2}}}{4}}=\frac{a\sqrt{3}}{2}.\)

\(\Rightarrow AH=\frac{2}{3}AM=\frac{a\sqrt{3}}{3}\) và \(HE=HM=\frac{AM}{3}=\frac{a\sqrt{3}}{6}.\)

Ta có: \(SH\bot BC,AM\bot BC\) nên \(BC\bot \left( SAM \right).\)

Kẻ \(MN\bot SA\left( N\in SA \right)\) thì MN là đường vuông góc chung của SA và BC hay \(MN=\frac{3a}{4}.\)

\(\Rightarrow NA=\sqrt{M{{A}^{2}}-M{{N}^{2}}}=\frac{a\sqrt{3}}{4}.\)

Trong tam giác SAM có MN,SH là hai đường cao nên AH.AM=AN.AS.

\(\Rightarrow AS=\frac{AH.AM}{AN}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}\Rightarrow SH=\sqrt{S{{A}^{2}}-A{{H}^{2}}}=a.\)

Chọn hệ trục tọa độ với gốc tại A và các trục tọa độ như hình vẽ với tia Ox trùng với tia AB, tia Oy trùng với tia AC và tia Oz vuông góc với mặt phẳng \(\left( ABC \right)\) và có hướng theo \(\overrightarrow{HS}.\) Các đơn vị trên các trục bằng nhau và bằng a.

Khi đó: \(A\left( 0;0;0 \right),B\left( 1;0;0 \right),C\left( 0;\sqrt{3};0 \right)\).

Do \(HF=AE=\frac{a}{2},HE=HM=\frac{a\sqrt{3}}{6}\) và SH=a nên \(S\left( \frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{6};1 \right).\)

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) là

\(\overrightarrow{{{n}_{1}}}=\left[ \overrightarrow{AC},\overrightarrow{AS} \right]=\left( \sqrt{3};0;\frac{-\sqrt{3}}{2} \right)\)

Véc-tơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( SBC \right)\) là

\(\overrightarrow{{{n}_{2}}}=\left[ \overrightarrow{BC},\overrightarrow{SC} \right]=\left( -\sqrt{3};-1;\frac{-\sqrt{3}}{3} \right).\)

Gọi \(\alpha \) là góc giữa hai mặt phẳng \(\left( SAC \right)\) và \(\left( SBC \right),\) ta có:

\(\cos \alpha =\left| \cos \left( \overrightarrow{{{n}_{1}}};\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right) \right|=\frac{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}}.\overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{1}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{2}}} \right|}=\frac{\sqrt{65}}{13}.\)