Đại số và Giải tích 11 Bài 4: Vi phân


Vi phân là một khái niệm mới được xây dựng trên nền tảng đạo hàm. Yêu cầu của học này các em chỉ cần nắm được khái niệm và biết tính vi phân của một hàm số. Đây là dạng toán nền tảng để các em làm các bài toán nguyên hàm, tích phân trong chương trình Giải tích 12. Bài giảng còn cung cấp những ví dụ minh họa có hướng dẫn giải chi tiết sẽ giúp các em hình thành và rèn luyện kĩ năng giải các bài toán liên quan đến vi phân.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định nghĩa

Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\)

Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\)

Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\)

2. Ứng dụng vào phép tính gần đúng

\(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

3. Các dạng toán

a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x)

Phương pháp:

  • Tính đạo hàm f'(x).
  • Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\)
  • Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\)

b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức

Phương pháp:

  • Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp.
  • Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\)
  • Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\)

Bài tập minh họa

Ví dụ 1:

Tìm vi phân của các hàm số sau:

a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\).

b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\).

c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\)

Hướng dẫn giải:

a) \(f'(x) = cosx - (cosx - xsinx) = xsinx\) nên \(df(x) = x\sin xdx.\)

b) \(f'(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}\) nên \(df(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}dx.\)

c) \(f'(x) = cosx - x\sin x \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\) nên \(df\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}dx.\)

Ví dụ 2: 

Tính gần đúng các giá trị sau:

a) \(\sqrt {4,01}\).

b) \(\sin {29^0}\).

Hướng dẫn giải:

a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\)

Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì \(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\)

\(f(4)=2.\)

Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\)

b) Đặt \(f(x)=sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và \(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\)

Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\)

\(f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.\)

Vậy: \(sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)

Lời kết

Trong phạm vi bài học chỉ có thể giới thiệu đến các em những nội dung cơ bản nhất về Vi phân. Để cũng cố bài học, xin mời các em cũng làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Vi phân với những câu hỏi củng cố bám sát nội dung bài học. Bên cạnh đó các em có thể nêu thắc mắc của mình thông qua phần Hỏi - đáp cộng đồng Toán HỌC247 sẽ sớm giải đáp cho các em.

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập SGK sẽ giúp các em nắm được các phương pháp giải bài tập từ SGK Đại số và Giải tích 11 Cơ bản và Nâng cao.

-- Mod Toán Học 11 HỌC247