Bài tập 43 trang 216 SGK Toán 11 NC

a) Cho \(f(x) = \frac{1}{x}(x \ne 0)\)., Ta chứng minh:

\({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}(\forall x \ge 1)\) bằng phương pháp qui nạp

- Với n = 1, ta có: 

\({f^{(n)}}(x) = f\prime (x) =  - \frac{1}{{{x^2}}}\) và

\(\frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}} =  - \frac{1}{{{x^2}}}\)

Suy ra (1) đúng khi n = 1.

-  Giả sử (1) đúng cho trường hợp n = k(k ≥ 1), tức là: 

\({f^{\left( k \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^k}.k!}}{{{x^{k + 1}}}}\)

Ta phải chứng minh (1) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là:

\({f^{\left( {k + 1} \right)}}\left( x \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}.\left( {k + 1} \right)!}}{{{x^{k + 2}}}}\)

Thật vậy, ta có:

\(\begin{array}{l}
{f^{(k + 1)}}(x) = [{f^{(k)}}(x)]\prime \\
 =  - \frac{{{{( - 1)}^k}k!.(k + 1){x^k}}}{{{x^{2(k + 1)}}}}\\
 = \frac{{{{( - 1)}^{k + 1}}.(k + 1)!}}{{{x^{k + 2}}}}
\end{array}\)

b) Cho f(x) = cosxx. Chứng minh công thức :

\({f^{(4n)}}(x) = cosx(\forall n \ge 1)(2)\) bằng phương pháp qui nạp:

Ta có: f′(x) = −sinx; f"(x) = −cosx

\(f'''\left( x \right) = \sin x;{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right) = \cos x\)

+ Với n = 1 thì f⁽⁴ⁿ⁾(x) = f⁽⁴⁾(x) = cosx

Suy ra (2) đúng khi n = 1

+ Giả sử (2) đúng cho trường hợp n = k (k ≥ 1), tức là :  f(4k) (x) = cosx,

Ta phải chứng minh (2) cũng đúng cho trường hợp n = k + 1, tức là phải chứng minh ::

\({f^{(4(k + 1))}}(x) = cosx(hay\,{f^{(4k + 4)}}(x) = cosx)\)

Thật vậy,

\(\begin{array}{l}
{f^{(4k)}}(x) = \cos x \Rightarrow {f^{(4k + 1)}}(x) =  - \sin x\\
{f^{(4k + 2)}}(x) =  - \cos x\\
{f^{(4k + 3)}}(x) = \sin x\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = \cos x
\end{array}\)

c) Ta có:

\(\begin{array}{l}
f\prime (x) = a\cos ax\\
f(x) =  - {a^2}\sin ax\\
{f^{(3)}}(x) =  - {a^3}\cos ax\\
{f^{(4)}}(x) = {a^4}\sin ax
\end{array}\)

Với n = 1 ta có f⁽⁴⁾(x) = a⁴sinax,, đẳng thức đúng với n = 1

Giả sử đẳng thức đúng với n = k tức là :  f^(4k)(x) = a^4ksinax

Với n = k + 1 ta có: 

\({f^{(4k + 4)}}(x) = {({f^{(4k)}})^{(4)}}(x) = {({a^{4k}}\sin ax)^{(4)}}\)

Do \({f^{\left( {4k} \right)}}\left( x \right) = {a^{4k}}\sin ax\)

\(\begin{array}{l}
{f^{(4k + 1)}}(x) = {a^{4k + 1}}\cos ax\\
{f^{(4k + 2)}}(x) =  - {a^{4k + 2}}\sin ax\\
{f^{(4k + 3)}}(x) =  - {a^{4k + 3}}\cos ax\\
{f^{(4k + 4)}}(x) = {a^{4k + 4}}\sin ax
\end{array}\)

Vậy đẳng thức đúng với n = k + 1, do đó đẳng thức đúng với mọi n.

-- Mod Toán 11 HỌC247