Phương pháp sử dụng Đường tròn Lượng giác trong Dao động điều hòa Vật lý 12

Phương Pháp Sử Dụng Đường Tròn Lượng Giác 

trong Dao Động Điều Hòa

 Giả sử có một điểm M chuyển động tròn đều trên một đường tròn theo chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ) với tốc độ góc w. Gọi P là hình chiếu vuông góc của điểm M trên trục Ox trùng với một đường kính của đường tròn và có gốc trùng với tâm O của đường tròn.

Ta thấy điểm P dao động trên trục Ox quanh gốc toạ độ O.

Tại thời điểm t = 0, điểm M ở vị trí M₀ được xác định bởi góc  \(\widehat {{P_1}OM} = \varphi (rad)\)

Sau t giây, tức là tại thời điểm t nó chuyển động đến điểm vị trí điểm M xác định bởi góc \(\widehat {{P_1}OM} = \omega t + \varphi (rad)\).

Khi ấy tọa độ \(x = \overline {OP} \) của điểm P có phương trình là :  \(x = OM\cos \left( {\omega t + \varphi } \right) = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)

trong đó ta có: \(\omega = \frac{v}{R}\) .

Như vậy:

Một dao động điều hòa có thể được coi như hình chiếu của một chuyển động tròn đều xuống đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo.

Khi chất điểm chuyển động được một vòng thì vật dao động điều hòa thực hiện được một dao động. Tần số góc của hình chiếu dao động điều hòa bằng vận tốc góc của chất điểm chuyển động tròn đều đó.

Vecto vận tốc và gia tốc trên đường tròn lượng giác:

Xét góc \(\varphi \in \left[ {0;2\pi } \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l} Khi\,\,\,\,0 < \varphi < \frac{\pi }{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} v < 0\\ a < 0 \end{array} \right.\\ Khi\,\,\,\frac{\pi }{2} < \varphi < \pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} v < 0\\ a > 0 \end{array} \right.\,\\ Khi\,\,\,\,\pi < \varphi < \frac{{3\pi }}{2} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} v > 0\\ a > 0 \end{array} \right.\\ Khi\,\,\,\,\frac{{3\pi }}{2} < \varphi < 2\pi \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} v > 0\\ a < 0 \end{array} \right. \end{array}\)

Trên hình vẽ ta thấy, nếu vật chuyển động tròn đều trên nửa vòng tròn phía trên thì hình chiếu của nó âm tức là dao động điều hòa đang chuyển động theo chiều âm trục Ox, còn nếu vật chuyển động tròn đều trên nửa vòng tròn phía dưới thì hình chiếu tức dao động điều hòa sẽ đang chuyển động theo chiều dương trục Ox.

Vecoto gia tốc luôn hướng về vị trí cân bằng.

BÀI TOÁN: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\) . Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x₁ đến điểm có li độ x₂?

Phương pháp giải:

 Phương trình dao động của vật có dạng \(x = A\cos \left( {\omega t + \varphi } \right)\)

Bước 1: Vẽ trục Ox gắn vào đường tròn bán kính R = A

Bước 2: Xác định vị trí x₁ trên vòng tròn lượng giác và chiều của chuyển động.

Bước 3: Xác định vị trí x₂ trên vòng tròn lượng giác và chiều của chuyển động.

(Chiều âm nằm phía trên đường tròn, chiều dương phía dưới của đường tròn lượng giác).

Bước 4: Khi vật dao động điều hoà từ điểm x₁ đến điểm x₂ thì tương ứng trên đường tròn chất điểm chuyển động từ M₁ đến M₂ và quét được một góc  \(\alpha = \widehat {{M_1}O{M_2}}\)

Bước 5: Tính góc a khi đó  \(\alpha = \omega .\Delta t \Rightarrow \Delta t = \frac{\alpha }{\omega }\).

Ví dụ mẫu: Một vật dao động trên trục Ox với phương trình \(x = 4\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)cm\). Tìm khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ li độ \({x_1} = 2\sqrt 3 cm\) đến li độ  \({x_2} = - 2cm\)  ?

Lời giải:

 Vẽ đường tròn bán kính R = A = 4 cm.

Thời gian ngắn nhất để vật đi li độ \({x_1} = 2\sqrt 3 cm\) đến li độ  \({x_2} = - 2cm\)  là thời gian để vật đi theo 1 chiều trực tiếp (chiều âm trên hình vẽ không lặp lại hay quay vòng) từ \(x = 2\sqrt 3 \to x = - 2\) như hình vẽ bên.

Khi đó vật quét được góc \(\alpha = \widehat {{M_1}O{M_2}}\) trên đường tròn lượng giác.

Ta có:

\(\begin{array}{l} \cos \widehat {{M_1}O{P_1}} = \frac{{O{P_1}}}{R} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ \Rightarrow \widehat {{M_1}O{P_1}} = \frac{\pi }{6} \end{array}\) .

Lại có:  \(\cos \widehat {{M_2}O{P_2}} = \frac{{O{P_2}}}{R} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {{M_2}O{P_2}} = \frac{\pi }{3}\).

Do đó  \(\alpha = \pi - \widehat {{M_1}O{P_1}} - \widehat {{M_2}O{P_2}} = \frac{\pi }{2}\).

Khi đó: \(\Delta t = \frac{\alpha }{\omega } = \frac{{\frac{\pi }{2}}}{{2\pi }} = \frac{1}{4}s = 0,25s\).

Ví dụ 1: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên qũy đạo tâm O bán kính 5 cm với tốc độ 3 m/s. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng qũy đạo dao động điều hòa với tần số góc: A. 30 (rad/s).                     B. 0,6 (rad/s).                         C. 6 (rad/s).                       D. 60 (rad/s).

Lời giải:

Ta có: v = 300 cm / s suy ra tần số góc: \(\omega = \frac{v}{r} = 60(rad/s)\).

Chọn D

Ví dụ 2: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính R = 4 cm với tốc độ v. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 5(rad/s). Giá trị của v bằng: A. 10cm/s.                         B. 20cm/s.                              C. 50cm/s.                         D. 25cm/s.

Lời giải:

Vận tốc của vật là:

\(v = r.\omega = 4.5 = 20cm/s\)

Chọn B.

...

---Để xem tiếp nội dung Chuyên đề Phương pháp sử dụng Đường tròn Lượng giác trong Dao động điều hòa Vật lý 12, các em vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

 

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp sử dụng Đường tròn Lượng giác trong Dao động điều hòa Vật lý 12. Để xem toàn bộ nội dung các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập .

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Tổng hợp chuyên đề lý thuyết Dao động cơ học 2018

• Rèn luyện kỹ năng lập phương trình Dao động điều hòa Vật lý 12

• Bài tập và công thức tính nhanh về Con lắc lò xo, Con lắc đơn trong DĐĐH

Chúc các em học tập tốt !