Phương pháp giải bài toán viết phương trình dao động môn Vật Lý 12 năm 2021-2022

Phương trình dao động điều hòa của con lắc lò xo có dạng \(x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\). Như vậy, để viết được phương trình dao động, ta cần tìm được 3 đại lượng: tần số góc \(\omega \), biên độ A, và pha ban đầu \(\varphi \).

* Tìm tần số góc?

Ta có thể tìm \(\omega \) nếu biết chu kì hoặc tần số của vật.

\(\omega =\frac{2\pi }{T}=2\pi f\)

Ta có thể tìm \(\omega \) nếu biết khối lượng của vật và độ cứng của lò xo

\(\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}\)

Ta có thể tìm \(\omega \) nếu biết độ dãn của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng (con lắc lò xo thẳng đứng). Thật vậy, khi vật ở VTCB thì \(mg=k\Delta {{l}_{0}}\), khi đó

\(\left\{ \begin{align} & \omega =\sqrt{\frac{k}{m}} \\ & mg=k\Delta {{l}_{0}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{g}{\Delta {{l}_{0}}}}\)

Ta có thể tìm \(\omega \) nếu biết vận tốc cực đại (hoặc tốc độ cực đại) của vật \({{v}_{\max }}\) và biên độ A

\({{v}_{\max }}=\omega A\Rightarrow \omega =\frac{{{v}_{\max }}}{A}\)

Ta có thể tìm \(\omega \) nếu biết vận tốc cực đại của vật \({{a}_{\max }}\) và biên độ A

\({{a}_{\max }}={{\omega }^{2}}A\Rightarrow \omega =\sqrt{\frac{{{v}_{\max }}}{A}}\)

* Tìm biên độ A của vật?

Ta có thể tìm được biên độ A khi biết chiều dài quỹ đạo L của vật

\(L=2A\Rightarrow A=\frac{L}{2}\)

Ta có thể tìm được biên độ A khi biết chiều dài lớn nhất \({{l}_{\max }}\) và chiều dài nhỏ nhất \({{l}_{\min }}\) của lò xo trong quá trình vật dao động (trong trường hợp con lắc lò xo thẳng đứng)

\(\left\{ \begin{align} & {{l}_{\max }}={{l}_{0}}+\Delta {{l}_{0}}+A \\ & {{l}_{\min }}={{l}_{0}}+\Delta {{l}_{0}}-A \\ \end{align} \right.\Rightarrow {{l}_{\max }}-{{l}_{\min }}=2A\Rightarrow A=\frac{{{l}_{\max }}-{{l}_{\min }}}{2}\)

Ta có thể tìm được biên độ A khi biết \(\omega \) và \({{v}_{\max }}\) hoặc \({{a}_{\max }}\)

\(A=\frac{{{v}_{\max }}}{\omega }=\frac{{{a}_{\max }}}{{{\omega }^{2}}}\)

Ta có thể tìm được biên độ A khi biết \(\omega \), vị trí li độ x và vận tốc v của vật tại vị trí đó hoặc gia tốc a của vật thông qua hệ thức độc lập thời gian

\(\left\{ \begin{align} & A=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}} \\ & A=\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{{{\omega }^{4}}}+\frac{{{v}^{2}}}{{{\omega }^{2}}}} \\ \end{align} \right.\)

Ta có thể tìm được biên độ A khi biết cơ năng W của vật và độ cứng k của lò xo

\(W=\frac{1}{2}k{{A}^{2}}\Rightarrow A=\sqrt{\frac{2W}{k}}\)

Ta có thể tìm được biên độ A khi biết lực hồi phục cực đại tác dụng lên vật

\({{F}_{\max }}=kA\Rightarrow A=\frac{{{F}_{\max }}}{k}\)

* Tìm pha ban đầu \(\varphi \)?

- Cách 1: Tìm \(\varphi \) dựa vào điều kiện ban đầu t=0, giải hệ phương trình đại số liên quan đến li độ, vận tốc, gia tốc

- Cách 2 (là cách hay dùng): Tìm \(\varphi \) dựa vào phương pháp đường tròn.

Chúng ta qua các ví dụ cụ thể để hiểu rõ hơn

Ví dụ 1: Một vật dao động điều hòa theo phương trình: \(x=3\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\), trong đó x tính bằng cm, t tính bằng giây. Gốc thời gian đã được chọn lúc vật có trạng thái chuyển động như thế nào?

A. Đi qua vị trí có li độ \(x=-1,5\text{ cm}\) và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox.

B. Đi qua vị trí có li độ \(x=1,5\text{ cm}\) và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.

C. Đi qua vị trí có li độ \(x=1,5\text{ cm}\) và đang chuyển động theo chiều dương trục Ox.

D. Đi qua vị trí có li độ \(x=-1,5\text{ cm}\) và đang chuyển động theo chiều âm trục Ox.

Lời giải

Cách 1: Phương pháp đại số.

Trạng thái gồm vị trí và chiều chuyển động. Muốn xác định vị trí thì ta tìm li độ tại thời điểm đó (thời điểm ban đầu) là bao nhiêu, muốn tìm chiều chuyển động thì ta tìm xem vận tốc tại thời điểm đó âm hay dương. Ta có

\(\left\{ \begin{align} & x=3\cos \left( 2\pi .0-\frac{\pi }{3} \right)=1,5 \\ & {{v}_{0}}={x}'\left( 0 \right)=-6\pi \sin \left( 2\pi .0-\frac{\pi }{3} \right)=3\sqrt{3}\pi >0 \\ \end{align} \right.\)

Vậy thời điểm ban đầu t=0 vật đang ở vị trí có li độ 1,5 cm và đang đi theo chiều dương.

Cách 2: Sử dụng đường tròn

Để ý rằng \(2\pi -\frac{\pi }{3}\) là pha của dao động, do đó tại thời điểm ban đầu thì pha ban đầu của dao động là \(-\frac{\pi }{3}\). Dựa vào đường tròn ta thấy ngay vật ở vị trí có li độ 1,5 cm và đang đi theo chiều dương. Cụ thể

+ Xác định vị trí chất điểm trên đường tròn dựa vào pha của dao động.

+ Từ chất điểm trên đường tròn, hạ hình chiếu vuông góc xuống Ox được vị trí của vật.

+ Từ chiều của chất điểm trên đường tròn (luôn là chiều ngược chiều kim đồng hồ) suy ra chiều chuyển động của vật.

Đáp án C.

Cách xác định pha của vật:

Bước 1: Xác định vị trí chất điểm trên đường tròn dựa vào vị trí và chiều chuyển động của vật: dựng đường vuông góc đi qua vật, đường này cắt đường tròn tại hai vị trí. Ta lấy vị trí sao cho phù hợp với chiều của chất điểm trên đường tròn.

Bước 2: Xác định pha ban đầu của vật.

Để dễ hình dung, ta xét ví dụ sau: Một vật dao động điều hòa với biên độ 3 cm. Biết thời điểm ban đầu \(t=0\) vật đang ở vị trí có li độ 1,5 cm và đang đi theo chiều dương. Tìm pha ban đầu của dao động?

Bước 1: Từ hình vẽ, vì vật đi theo chiều dương nên ta sẽ dựng đường vuông góc cắt nửa đường tròn dưới tại điểm M (ta dựng đường vuông góc cắt nửa đường tròn dưới vì nó phù hợp với vật đi theo chiều dương và điểm M chuyển động đúng theo chiều ngược chiều kim đồng hồ). Nối OM được véctơ quay \(\overrightarrow{OM}\).

Tóm lại:

+ Vật chuyển động theo chiều dương thì dựng đường vuông góc cắt nửa đường tròn dưới.

+ Vật chuyển động theo chiều âm thì dựng đường vuông góc cắt nửa đường tròn trên.

Bước 2: Từ hình vẽ, ta tính được độ lớn góc hợp bởi \(\left( \overrightarrow{OM},\overrightarrow{Ox} \right)\) là \(\frac{\pi }{3}\).

Về mặt pha (góc lượng giác) thì có giá trị là \(-\frac{\pi }{3}+\left( 2\pi -\frac{\pi }{3} \right)=+\frac{5\pi }{3}\)

Thông thường người ta sẽ lấy \(-\frac{\pi }{3}\) (chú ý là lấy \(+\frac{5\pi }{3}\) vẫn đúng!).

Giải thích dài dòng là vậy, nhưng khi thực hiện chỉ mất vài giây.

Bạn đọc hãy tự luyện với một số trường hợp sau:

Một vật dao động điều hòa với biên độ A cm. Tìm pha ban đầu của dao động biết:

a. Thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí cân bằng theo chiều dương.

Đáp số 

\(\left( \begin{align} & -\frac{\pi }{2} \\ & +\frac{3\pi }{2} \\ \end{align} \right.\)

b. Thời điểm ban đầu vật đi qua vi trí cân bằng theo chiều âm.

Đáp số 

\(\left( \begin{align} & +\frac{\pi }{2} \\ & -\frac{3\pi }{2} \\ \end{align} \right.\)

c. Thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ \(x=-\frac{A\sqrt{3}}{2}\) theo chiều dương.

Đáp số

\(\left( \begin{align} & -\frac{5\pi }{6} \\ & +\frac{7\pi }{6} \\ \end{align} \right.\)

d. Thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ \(x=-\frac{A\sqrt{3}}{2}\) theo chiều âm.

Đáp số 

\(\left( \begin{align} & +\frac{5\pi }{6} \\ & -\frac{7\pi }{6} \\ \end{align} \right.\)

e. Thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ \(x=-\frac{A}{2}\) theo chiều dương.

Đáp số

\(\left( \begin{align} & -\frac{2\pi }{3} \\ & +\frac{4\pi }{3} \\ \end{align} \right.\)

f. Thời điểm ban đầu vật đi qua vị trí có li độ \(x=-\frac{A}{2}\) theo chiều âm.

Đáp số 

\(\left( \begin{align} & +\frac{2\pi }{3} \\ & -\frac{4\pi }{3} \\ \end{align} \right.\)

Ví dụ 2: Một vật dao động điều hòa với biên độ \(A=4\text{cm}\) và \(T=2\text{s}\). Chọn gốc thời gian là lúc vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là:

A. \(x=4\cos \left( 2\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)                              

B. \(x=4\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)                            

C. \(x=4\cos \left( 2\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)                            

D. \(x=4\cos \left( \pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)

Lời giải

- Tần số góc của dao động:  \(\omega =2\pi f=\pi \).

- Đề bài đã cho biên độ, vậy ta xác định pha của dao động. Dựa trên đường tròn thấy ngay khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương thì pha ban đầu là \(-\frac{\pi }{2}\).

Vậy phương trình dao động có dạng \(x=4\cos \left( \pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)

Ngoài việc tính pha ban đầu dựa trên đường tròn, nếu bạn đọc không quen có thể giải hệ phương trình sau:

Tại \(t=0:{{x}_{0}}=0,\,\,{{v}_{0}}>0\) nên 

\(\left\{ \begin{array}{l} 0 = \cos \varphi \\ {v_0} = - A\omega \sin \varphi > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varphi = \pm \frac{\pi }{2}\\ \sin \varphi < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \varphi = - \frac{\pi }{2}\)

Đáp án B.

Ví dụ 3: Một vật dao động điều hòa trên đoạn thẳng dài 4cm với \(f=10\,\,Hz\). Lúc \(t=0\) vật qua vị trí cân bằng theo chiều âm của quỹ đạo. Phương trình dao động của vật là:

A. \(x=2\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)                           

B. \(x=2\cos \left( 20\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)                            

C. \(x=4\cos \left( 20\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)                           

D. \(x=4\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)

Lời giải

- Tần số góc \(\omega =2\pi f=20\pi \).

- Biên độ \(A=\frac{4}{2}=2\,\,\text{cm}\).

- Pha ban đầu: dựa vào đường tròn thấy ngay \(\varphi =+\frac{\pi }{2}\) hoặc

Tại \(t=0:{{x}_{0}}=0,\,\,{{v}_{0}}<0\)

nên \(\left\{ \begin{array}{l} 0 = \cos \varphi \\ {v_0} = - A\omega \sin \varphi < 0 \end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} \varphi = \pm \frac{\pi }{2}\\ \sin \varphi > 0 \end{array} \right. \Rightarrow \varphi = + \frac{\pi }{2}\)

- Phương trình dao động là \(x=2\cos \left( 20\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\,\text{cm}.\)

Đáp án A.

---(Nội dung đầy đủ, chi tiết phần Ví dụ minh họa của tài liệu các em vui lòng xem Online hoặc Đăng nhập vào HOC247 đề tải về máy)---

Câu 1: Một vật dao động điều hòa trên quỹ đạo dài 20 cm. Sau \(\frac{1}{12}\,\left( \text{s} \right)\) kể từ thời điểm ban đầu vật đi được 10 cm mà chưa đổi chiều chuyển động và vật đến vị trí có li độ 5 cm theo chiều dương. Phương trình dao động của vật là

A. \(x=10\cos \left( 6\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)\,\text{cm}\).      

B. \(x=10\cos \left( 4\pi t-\frac{2\pi }{3} \right)\,\text{cm}\).

C. \(x=10\cos \left( 6\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\,\text{cm}\)   

D. \(x=10\cos \left( 4\pi t-\frac{\pi }{3} \right)\,\text{cm}\).

Câu 2: Một vật dao động điều hoà vói tốc độ cực đại là \(10\pi \,\text{cm/s}\). Ban đầu vật đứng ở vị trí có vận tốc là \(5\pi \,\text{cm/s}\) và thời gian ngắn nhất để vật đi từ vị trí trên đến vị trí có vận tốc \(v=0\) là 0,1 s. Phương trình dao động của vật có thể là

A. \(x=1,2\cos \left( \frac{25\pi }{3}t-\frac{5\pi }{6} \right)\,\text{cm}\).

B. \(x=1,2\cos \left( \frac{5\pi }{3}t+\frac{5\pi }{6} \right)\,\text{cm}\).

C. \(x=2,4\cos \left( \frac{10\pi }{3}t+\frac{\pi }{6} \right)\,\text{cm}\).

D. \(x=2,4\cos \left( \frac{10\pi }{3}t+\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).

Câu 3: Một con lắc lò xo treo thẳng đứng. Kích thích cho con lắc dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Chu kỳ và biên độ dao động của con lắc lần lượt là 0,4s và 8cm. Chọn trục \({x}'x\) thẳng đứng chiều dương hướng xuống, gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, gốc thời gian t=0 khi vật qua vị trí cân bằng theo chiều dương. Hãy viết phương trình dao động của vật.

A. \(x=8\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).

B. \(x=4\cos \left( 5\pi t+\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).

C. \(x=4\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).    

D. \(x=8\cos \left( 5\pi t-\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).

Câu 4: Một con lắc lò xo dao động thẳng đứng có độ cứng \(k=10\,\,\text{N/m}\). Quả nặng có khối lượng 0,4kg. Từ vị trí cân bằng người ta cấp cho quả lắc một vật vận tốc ban đầu \({{v}_{0}}=1,5\,\text{m/s}\) theo phương thẳng đứng và hướng lên trên. Chọn gốc tọa độ tại vị trí cân bằng, chiều dương cùng chiều vói chiều vận tốc \({{v}_{0}}\) và gốc thời gian là lúc bắt đầu chuyển động. Phương trình dao động có dạng?

A. \(x=3\cos \left( 5t+\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).   

B. \(x=30\cos \left( 5t+\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).

C. \(x=30\cos \left( 5t-\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).   

D. \(x=3\cos \left( 5t-\frac{\pi }{2} \right)\,\text{cm}\).

Câu 5: Một con lắc lò xo dao động điều hòa theo phương thẳng đứng. Thời gian vật đi từ vị trí thấp nhất đến vị trí cao nhất cách nhau 20 cm là 0,75 s. Gốc thời gian được chọn là lúc vật đang chuyển động chậm dần theo chiều dương với vận tốc là \(\frac{\pi }{15}\text{m/s}\) . Phương trình dao động của vật là

A. \(x=10\cos \left( \frac{4\pi }{3}t-\frac{\pi }{6} \right)\,\text{cm}\).

B. \(x=10\cos \left( \frac{4\pi }{3}t-\frac{\pi }{3} \right)\,\text{cm}\).

C. \(x=10\cos \left( \frac{3\pi }{4}t+\frac{\pi }{3} \right)\,\text{cm}\).

D. \(x=10\cos \left( \frac{3\pi }{4}t-\frac{\pi }{6} \right)\,\text{cm}\).

ĐÁP ÁN

1-B

2-A

3-D

4-C

5-A

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Phương pháp giải bài toán viết phương trình dao động môn Vật Lý 12 năm 2021-2022. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.