Phương pháp đường tròn lượng giác trong giải một số bài toán về giao động điều hòa môn Vật Lý 12

1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI

BÀI TOÁN: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình \(x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\). Tính khoảng thời gian ngắn nhất để vật đi từ điểm có li độ x₁ đến điểm có li độ x₂?

Phương pháp

Phương trình dao động của vật có dạng \(x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\)

Bước 1: Vẽ trục Ox gắn vào đường tròn bán kính R = A

Bước 2: Xác định vị trí x₁ trên vòng tròn lượng giác và chiều của chuyển động.

Bước 3: Xác định vị trí x₂ trên vòng tròn lượng giác và chiều của chuyển động.

(Chiều âm nằm phía trên đường tròn, chiều dương phía dưới của đường tròn lượng giác).

Bước 4: Khi vật dao động điều hoà từ điểm x₁ đến điểm x₂ thì tương ứng trên đường tròn chất

điểm chuyển động từ M₁ đến M₂ và quét được một góc \(\alpha =\widehat{{{M}_{1}}O{{M}_{2}}}\)

Bước 5: Tính góc a khi đó \(\alpha =\omega .\Delta t\Rightarrow \Delta t=\frac{\alpha }{\omega }\) .

Ví dụ 1: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên qũy đạo tâm O bán kính 5 cm với tốc độ 3 m/s. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng qũy đạo dao động điều hòa với tần số góc:

A. 30 (rad/s).                     B. 0,6 (rad/s).                         C. 6 (rad/s).                       D. 60 (rad/s).

Lời giải:

Ta có: v = 300 cm / s suy ra tần số góc: \(\omega =\frac{v}{r}=60(rad/s)\).

Chọn D

Ví dụ 2: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính R = 4 cm với tốc độ v. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 5(rad/s). Giá trị của v bằng:

A. 10cm/s.                         B. 20cm/s.                              C. 50cm/s.                         D. 25cm/s.

Lời giải:

Vận tốc của vật là \(v=r.\omega =4.5=20cm/s\).

Chọn B.

Ví dụ 3: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ góc 50 cm / s . Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 10(rad/s). Biên độ của dao động điều hòa bằng:

A. 5m.                                B. 0,2cm.                                C. 2cm.                              D. 5cm.

Lời giải:

Biên độ dao động bằng bán kính đường tròn và \(A=r=\frac{v}{\omega }=\frac{50}{10}=5cm\).

Chọn D.

Ví dụ 4: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 4 cm với tốc độ v cm /s . Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn \(2\sqrt{3cm}\) thì nó có tốc độ bằng 20 cm / s

A. 10cm/s.                         B. 40cm/s.                              C. 50cm/s.                         D. 20cm/s.

Lời giải:

Tần số góc: \(\omega =\frac{v}{r}(rad/s)\,;\,A=r=4\,cm\)

Khi P cách O một đoạn \(2\sqrt{3}cm\) thì tốc độ của nó là

\(\left| {{v}_{P}} \right|=\omega \sqrt{{{A}^{2}}-{{x}^{2}}}=\frac{v}{4}\sqrt{{{4}^{2}}-{{\left( 2\sqrt{3} \right)}^{2}}}=20\left( cm/s \right)\Rightarrow v=40cm/s\) .

Chọn B.

Ví dụ 5: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ 30 cm / s. Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn 9cm thì nó có tốc độ bằng 24 cm / s. Biên độ dao động của P là

A. 10cm.                            B. 15cm.                                 C. 18cm.                            D. 20cm.

Lời giải:

Ta có: \(A=r\Rightarrow \omega r=\omega A=30={{v}_{\max P}}\) .

Lại có: \({{\left( \frac{{{x}_{P}}}{A} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{{{v}_{P}}}{{{v}_{\max P}}} \right)}^{2}}=1\Rightarrow \frac{{{9}^{2}}}{{{A}^{2}}}+{{\left( \frac{24}{30} \right)}^{2}}=1\Rightarrow A=15cm\).

Chọn B.

Ví dụ 6: Một chất điểm chuyển động tròn đều trên đường tròn tâm O bán kính 10 cm với tốc độ góc 5 rad/s. Hình chiếu của chất điểm lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo có tốc độ cực đại là

A. 15cm/s.                         B. 50cm/s.                              C. 250cm/s.                       D. 25cm/s.

Lời giải:

Ta có: \(A=r=10cm,\omega =5rad/s\Rightarrow {{v}_{\max }}=\omega A=50cm/s\).

Chọn B.

Ví dụ 7: Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox với phương trình \(x=4\cos \left( \omega t+\frac{2\pi }{3} \right)\left( cm \right)\). Tại thời điểm ban đầu vật có:

A. x = -2cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox                            

B. x = 2 cm và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.                            

C. x = 2 cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.                                 

D. x = -2cm và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.

Lời giải:

Tại thời điểm ban đầu t = 0 ta có: \(\varphi =\frac{2\pi }{3}\) .

Do đó \(x=4\cos \frac{2\pi }{3}=-2\) và vật đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox

Chọn D.

Ví dụ 8: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình \(x=8\cos \left( \frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right)\). Tại thời điểm t = 0,5s vật có:

A. \(x=4\sqrt{3}cm\) và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.

B. \(x=-4\sqrt{3}cm\) và đang chuyển động theo chiều dương của trục Ox.                        

C. \(x=4\sqrt{3}cm\) và đang chuyển động theo chiều âm  của trục Ox.                             

D. \(x=-4\sqrt{3}cm\) và đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.   

Lời giải:

Tại thời điểm ban đầu t = 0,5s ta có: \(\varphi =\frac{\pi }{6}\) .

Do đó: \(x=8\cos \frac{\pi }{6}=4\sqrt{3}\) và vật đang chuyển động theo chiều âm của trục Ox.

Chọn C.

Ví dụ 9: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình \(x=A\cos \left( \frac{2\pi }{T}t-\frac{\pi }{6} \right)\left( cm \right)\) . Tính từ thời điểm ban đầu, khoảng thời gian vật đến vị trí có li độ \(x=\frac{-A}{\sqrt{2}}\) lần thứ nhất là

A. \(\Delta t=\frac{13T}{24}\) .                                      

B. \(\Delta t=\frac{T}{2}\).          

C. \(\Delta t=\frac{11T}{24}\).          

D. \(\Delta t=\frac{5T}{12}\).

Lời giải:

Tại thời điểm \(t=0\Rightarrow {{\varphi }_{0}}=-\frac{\pi }{6}\) ứng với điểm M₀ trên vòng tròn lượng giác.

Tại thời điểm vật có li độ \(x=-\frac{A}{\sqrt{2}}\) lần thứ nhất ứng với điểm M­₀ trên vòng tròn lượng giác.

Ta có: \(\widehat{{{M}_{0}}O{{P}_{0}}}=\frac{\pi }{6};\widehat{{{M}_{1}}Oy}=\widehat{O{{M}_{1}}{{P}_{1}}}=\arcsin \frac{\left| {{x}_{1}} \right|}{A}=\frac{\pi }{4}\)

Do đó \(\alpha =\widehat{{{M}_{0}}O{{M}_{1}}}=\frac{11\pi }{12}\Rightarrow \Delta t=\frac{\alpha }{\omega }=\alpha \,.\frac{T}{2\pi }=\frac{11T}{24}\) . Chọn C.

Ví dụ 10: Một vật dao động điều hoà dọc theo trục Ox với phương trình \(x=10\cos \left( 4t+\frac{\pi }{3} \right)\left( cm \right)\). Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x = -6 cm đến điểm có li độ x = 5 cm là

A. 0,292s.                          B. 0,093s.                               C. 0,917s.                          D. 0,585s.

Lời giải:

Thời gian ngắn nhất vật đi từ điểm có li độ x = - 6 cm đến điểm có li độ x = 5 cm là thời gian vật quét được góc \(\alpha =\widehat{{{M}_{1}}O{{M}_{2}}}\) trên đường tròn lượng giác như hình vẽ bên.

\(\begin{align} & Ta\text{ }c\acute{o}\,:\,\,\,\cos {{\alpha }_{1}}=\cos \widehat{{{M}_{1}}O{{P}_{1}}}=\frac{6}{10}\Rightarrow {{\alpha }_{1}}=0,927rad. \\ & \cos {{\alpha }_{2}}=\cos \widehat{{{M}_{2}}O{{P}_{2}}}=\frac{\pi }{3}. \\ \end{align}\)

Do đó \(\alpha =\pi -{{\alpha }_{1}}-{{\alpha }_{2}}=1,167\). Khi đó \(\Delta t=\frac{\alpha }{\omega }=\frac{1,167}{4}=\frac{1}{4}s=0,292s\) .

Chọn A.

Câu 1: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính l0cm với tốc độ l00cm/s. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc

A. 10 rad/s                        

B. 20 rad/s                         C. 5 rad/s                           D. 100 rad/s

Câu 2: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính 5cm với tốc độ v. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 20(rad/s). Giá trị của v bằng:

A. 10cm/s                          B. 20cm/s                           C. 50cm/s                          D. 100cm/s

Câu 3: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O với tốc độ góc 50cm/s. Hình chiếu của điểm M trên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo dao động điều hòa với tần số góc 20(rad / s). Biên độ của dao động điều hòa bằng:

A. 10cm                             B. 2,5cm                            C. 50cm                             D. 5cm

Câu 4: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính l0cm với tốc độ l00cm/s. Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn \(5\sqrt{3}cm\) thì nó có tốc độ bằng:

A. 10cm/s                          B. 20cm/s                           C. 50cm/s                          D. 100cm/s

Câu 5: Một chất điểm M chuyển động tròn đều trên quỹ đạo tâm O bán kính l0cm với tốc độ l00cm/s. Gọi P là hình chiếu của M lên trục Ox nằm trong mặt phẳng quỹ đạo. Khi P cách O một đoạn b thì nó có tốc độ là \(50\sqrt{3}cm/s\) . Giá trị của b là:

A. 10cm                             B. 2,5cm                            C. 50cm                             D. 5cm

Câu 6: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình \(x=A\cos 5\pi t\left( cm \right)\). Vectơ vận tốc hướng theo chiều âm và vectơ gia tốc hướng theo chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây?

A. 0,2s

B. 0,0s

C. 0,3s

D. 0,1s

Câu 7: Một chất điểm dao động điều hòa trên trục Ox có phương trình \(x=A\cos \left( 5\pi t+\pi /4 \right)\left( cm \right)\) . Vectơ vận tốc hướng theo chiều âm và vectơ gia tốc hướng theo chiều dương của trục Ox trong khoảng thời gian nào (kể từ thời điểm ban đầu t = 0) sau đây?

A. 0,2s

B. 0,05s

C. 0,3s

D. 0,1s

Câu 8: Chọn câu sai. Một vật dao động điều hòa dọc theo trục Ox, gốc O trùng với vị trí cân bằng của vật. Vào thời điểm t vật đi qua điểm M có vận tốc v = -20cm/s và gia tốc a = -2m/s2. Tại thời điểm đó vật:

A. chuyển động nhanh dần                                          B. có li độ dương             

C. chuyển động chậm dần.                                          D. đang đi về O

Câu 9: Chọn phát biểu sai?

A. Dao động điều hòa là dao động mà li độ được mô tả bằng một định luật dạng sin (hoặc cosin) theo thời gian: \(x=A\cos \left( \omega t+\varphi  \right)\) trong đó \(A,\omega ,\varphi \)  là những hằng số.          

B. Dao động điều hòa có thể được coi là hình chiếu của chuyển động tròn đều xuống đường thẳng nằm trong mặt phẳng quỹ đạo           

C. Dao động điều hòa có thể được biểu diễn bằng một vectơ không đổi             

D. Khi một vật dao động điều hòa thì động năng của vật đó cũng dao động tuần hoàn

Câu 10: Một vật dao động điều hòa theo phương ngang với phương trình \(x=4\cos \left( 17t+\pi /3 \right)\left( cm \right)\) , trong đó t tính bằng giây. Người ta chọn mốc thời gian lúc vật có:

A. li độ -2 cm và đang theo chiều âm.                        

B. li độ -2 cm và đang theo chiều dương,                  

C. li độ +2cm và đang theo chiều dương.                  

D. li độ +2 cm và đang theo chiều âm.

---Để xem đầy đủ nội dung phần còn lại của tài liệu, vui lòng đăng nhập vào trang hoc247.net để xem online hoặc tải về máy tính---

Trên đây là trích dẫn một phần nội dung tài liệu Phương pháp đường tròn lượng giác trong giải một số bài toán về giao động điều hòa môn Vật Lý 12 năm 2021-2022. Để xem thêm nhiều tư liệu hữu ích khác, các em đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.