Lý thuyết và bài tập về tọa độ của điểm và vectơ trong không gian

Định nghĩa

Trong không gian, vecto là một đoạn thẳng có định hướng tức là đoạn thẳng có quy định thứ tự của hai đầu

Chú ý: Các định nghĩa về hai vecto bằng nhau, đối nhau và các phép toán trên các vecto trong không gian được xác định tương tự như trong mặt phẳng.

1. Định nghĩa: Ba vecto \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) khác \(\overrightarrow{0}\) gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

Chú ý:

• \(n\) vecto khác \(\overrightarrow{0}\) gọi là đồng phẳng khi giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng.

• Các giá của các vecto đồng phẳng có thể là các đường thẳng chéo nhau.

2. Điều kiện để 3 vecto khác \(\overrightarrow{0}\) đồng phẳng

Định lý 1:

\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đồng phẳng \(\Leftrightarrow \exists m,n\in \mathbb{R}\): \(\overrightarrow{a}=m\overrightarrow{b}+n\overrightarrow{c}\)

3. Phân tích một vecto theo ba vecto không đồng phẳng

Định lý 2: Cho 3 vecto \(\overrightarrow{{{e}_{1}}},\overrightarrow{{{e}_{2}}},\overrightarrow{{{e}_{3}}}\) không đồng phẳng. Bất kì một vecto \(\overrightarrow{a}\) nào trong không gian cũng có thể phân tích theo ba vecto đó, nghĩa la có một bộ ba số thực \(\left( {{x}_{1}},{{x}_{2}},{{x}_{3}} \right)\) duy nhất

\(\overrightarrow{a}={{x}_{1}}\overrightarrow{{{e}_{1}}}+{{x}_{2}}\overrightarrow{{{e}_{2}}}+{{x}_{3}}\overrightarrow{{{e}_{3}}}\)

Chú ý: Cho vecto \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) khác \(\overrightarrow{0}\):

\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đồng phẳng nếu có ba số thực \(m,n,p\) không đồng thời bằng 0 sao cho: \(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=0\)
\(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) không đồng phẳng nếu từ \(m\overrightarrow{a}+n\overrightarrow{b}+p\overrightarrow{c}=0\Rightarrow m=n=p=0\)

Trong không gian xét hệ trục \(\text{Ox}yz,\) có trục \(\text{Ox}\) vuông góc với trục \(Oy\) tại O, và trục \(Oz\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( \text{Ox}y \right)\) tại O. Các vecto đơn vị trên từng trục \(\text{Ox},Oy,Oz\) lần lượt là \(\overrightarrow{i}=\left( 1;0;0 \right),\overrightarrow{j}=\left( 0;1;0 \right),\overrightarrow{k}=\left( 0;0;1 \right).\)

1. \(\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{a}={{a}_{1}}\overrightarrow{i}+{{a}_{2}}\overrightarrow{j}+{{a}_{3}}\overrightarrow{k}\)

2. \(M\left( {{x}_{M}},{{y}_{M}},{{z}_{M}} \right)\Leftrightarrow \overrightarrow{OM}={{x}_{M}}\overrightarrow{i}+{{y}_{M}}\overrightarrow{j}+{{z}_{M}}\overrightarrow{k}\)

3. Cho \(A\left( {{x}_{A}},{{y}_{A}},{{z}_{A}} \right),B\left( {{x}_{B}},{{y}_{B}},{{z}_{B}} \right)\) ta có:

\(\overrightarrow{AB}=\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}};{{y}_{B}}-{{y}_{A}};{{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)\) và \(AB=\sqrt{{{\left( {{x}_{B}}-{{x}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{y}_{B}}-{{y}_{A}} \right)}^{2}}+{{\left( {{z}_{B}}-{{z}_{A}} \right)}^{2}}}.\)

4. M là trung điểm \(AB\) thì \(M\left( \frac{{{x}_{B}}+{{x}_{A}}}{2};\frac{{{y}_{B}}+{{y}_{A}}}{2};\frac{{{z}_{B}}+{{z}_{A}}}{2} \right)\)

5. Cho \(\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}} \right)\) ta có:

• \(\overrightarrow a = \overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = {b_1}\\ {a_2} = {b_2}\\ {a_3} = {b_3} \end{array} \right.\)

• \(\overrightarrow{a}\pm \overrightarrow{b}=\left( {{a}_{1}}\pm {{b}_{1}};{{a}_{2}}\pm {{b}_{2}};{{a}_{3}}\pm {{b}_{3}} \right)\)

• \(k.\overrightarrow{a}=\left( k{{a}_{1}};k{{a}_{2}};k{{a}_{3}} \right)\)

• \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\text{cos}\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)={{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}\)

• \(\left| \overrightarrow{a} \right|=\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}}\)

• \(\cos \varphi =\text{cos}\left( \overrightarrow{a};\overrightarrow{b} \right)=\frac{{{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}}{\sqrt{{{a}_{1}}^{2}+{{a}_{2}}^{2}+{{a}_{3}}^{2}}.\sqrt{{{b}_{1}}^{2}+{{b}_{2}}^{2}+{{b}_{3}}^{2}}}\)      (với \(\overrightarrow{a}\ne \overrightarrow{0},\overrightarrow{b}\ne \overrightarrow{0}\) )

• \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) vuông góc : \(\Leftrightarrow \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0\Leftrightarrow {{a}_{1}}{{b}_{1}}+{{a}_{2}}{{b}_{2}}+{{a}_{3}}{{b}_{3}}=0\)

• \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương: \( \Leftrightarrow \exists k \in R:\overrightarrow a = k\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} {a_1} = k{b_1}\\ {a_2} = k{b_2}\\ {a_3} = k{b_3} \end{array} \right.\)

Tích có hướng của \(\overrightarrow{a}=\left( {{a}_{1}};{{a}_{2}};{{a}_{3}} \right)\) và \(\overrightarrow{b}=\left( {{b}_{1}};{{b}_{2}};{{b}_{3}} \right)\) là:

\(\left[ {\vec a,\vec b} \right] = \left( {\left| \begin{array}{l} {a_2}{a_3}\\ {b_2}{b_3} \end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} {a_3}{a_1}\\ {b_3}{b_1} \end{array} \right|;\left| \begin{array}{l} {a_1}{a_2}\\ {b_1}{b_2} \end{array} \right|} \right) = \left( {{a_2}{b_3} - {a_3}{b_2};{a_3}{b_1} - {a_1}{b_3};{a_1}{b_2} - {a_2}{b_1}} \right)\)

1. Tính chất:

• \(\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]\bot \overrightarrow{a},\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]\bot \overrightarrow{b}\)

• \(\left| \left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right] \right|=\left| \overrightarrow{a} \right|.\left| \overrightarrow{b} \right|\sin \left( \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right)\)

• \(\overrightarrow{a}\) và \(\overrightarrow{b}\) cùng phương: \(\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right]=\overrightarrow{0}\)

• \(\overrightarrow{a},\overrightarrow{b},\overrightarrow{c}\) đồng phẳng \(\Leftrightarrow \left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{b} \right].\overrightarrow{c}=0\)

2. Các ứng dụng tích có hướng

• Diện tích tam giác: \({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right] \right|\)

• Thể tích tứ diện \({{V}_{ABCD}}=\frac{1}{6}\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC} \right].\overrightarrow{AD} \right|\)

• Thể tích khối hộp : \({{V}_{ABCD.A'B'C'D'}}=\left| \left[ \overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD} \right].\overrightarrow{\text{AA }\!\!'\!\!\text{ }} \right|\)

1. Nếu \(M\) chia đoạn AB theo tỉ số \(k\left( \overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB} \right)\) thì ta có:

\({{x}_{M}}=\frac{{{x}_{A}}-k{{x}_{B}}}{1-k};{{y}_{M}}=\frac{{{y}_{A}}-k{{y}_{B}}}{1-k}  ;{{z}_{M}}=\frac{{{z}_{A}}-k{{z}_{B}}}{1-k}\)với \(k\ne 1\)

2. G là trọng tâm tam giác \(ABC\Leftrightarrow {{x}_{G}}=\frac{{{x}_{A}}+{{x}_{B}}+{{x}_{C}}}{3};{{y}_{G}}=\frac{{{y}_{A}}+{{y}_{B}}+{{y}_{C}}}{3};{{z}_{G}}=\frac{{{z}_{A}}+{{z}_{B}}+{{z}_{C}}}{3}\)
3. G là trọng tâm tứ diện \(ABCD\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}+\overrightarrow{GD}=\overrightarrow{0}\)

Ví dụ: Cho 4 điểm \(S\left( 1,2,3 \right);A\left( 2,2,3 \right);B\left( 1,3,3 \right);C\left( 1,2,4 \right).SABC\) là:

A . Tứ diện

B. Hình chóp đều

C. Tứ diện đều

D. Hình thang vuông

Lời giải

\(\overrightarrow{AB}=\left( -1;1;0 \right);\overrightarrow{BC}=\left( 0;-1;1 \right);\overrightarrow{AC}=\left( -1;0;1 \right)\)

\(\Rightarrow AB=BC=CA=\sqrt{2}\Rightarrow ABC\) là tam giác đều

\(\overrightarrow{SA}=\left( 1;0;0 \right);\overrightarrow{SB}=\left( 0;1;0 \right);\overrightarrow{SC}=\left( 0;0;1 \right)\Rightarrow SA=SB=SC=1\)

\(D\left( {SA,SB,SC} \right) = \left| \begin{array}{l} 1\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,0\\ 0\,\,\,\,\,\,\,\,0\,\,\,\,\,\,\,\,\,1 \end{array} \right| = 1 \ne 0\)

Hay ta có thể tính \(\left[ \overrightarrow{SA};\overrightarrow{SB} \right]\overrightarrow{SC}\ne \overrightarrow{0}\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{SA},\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SC}\) không đồng phẳng.

\(\Rightarrow SABC\) là hình chóp đều , đỉnh S.

Chọn B.

Bài 1: Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'.\) Chọn hệ thức sai:

A. \(\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AC'}\)  

B. \(\overrightarrow{A'B'}+\overrightarrow{A'D'}+\overrightarrow{A'A}=\overrightarrow{A'C}\)

C. \(\overrightarrow{C'D'}+\overrightarrow{C'B'}+\overrightarrow{C'C}=\overrightarrow{C'A}\)

D. \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BB'}=\overrightarrow{D'B}\)

Lời giải

\(\begin{array}{l} \overrightarrow {AA'} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {A'C} \\ \overrightarrow {A'B'} + \overrightarrow {A'D'} + \overrightarrow {A'A} = \overrightarrow {A'C'} + \overrightarrow {A'A} + \overrightarrow {A'C} \\ \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {C'A'} + \overrightarrow {C'C} = \overrightarrow {C'A} \\ \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {BD'} \end{array}\)

Chỉ có hệ thức D sai.

Chọn D.

Bài 2: Cho bốn điểm \(S\left( 1,2,3 \right);A\left( 2,2,3 \right);B\left( 1,3,3 \right);C\left( 1,2,4 \right).\)Gọi \(M,N,P\) lần lượt là trung điểm của \(BC,CA\) và \(\text{AB}\text{.}\,\text{SMNP}\) là:

A . Hình chóp

B. Hình chóp đều

C. Tứ diện đều 

D. Tam diện vuông

Lời giải

Tam giác: \(ABC\) có \(AB=BC=CA=\sqrt{2}\) \(\Rightarrow MN=NP=PM=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\begin{align} & \overrightarrow{SA}=\left( 1;0;0 \right);\overrightarrow{SB}=\left( 0;1;0 \right);\overrightarrow{SC}=\left( 0;0;1 \right) \\ & \Rightarrow \overrightarrow{SA}.\overrightarrow{SB}=0\Rightarrow SA\bot SB \\ \end{align}\)

Tương tự \(SA\bot SC,SB\bot SC\)

Các tam giác vuông \(SAB,SBC,SCA\) vuông tại S, có các trung tuyến: \(SP=SM=SN=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}=MN=NP=PM\)

Ta có: \(SP\subset \left( SAB \right);SM\subset \left( SBC \right);SN\subset \left( SCA \right)\)

\(\Rightarrow \overrightarrow{SP},\overrightarrow{SM},\overrightarrow{SN}\) không đồng phẳng

\(\Rightarrow SMNP\) là tứ diện đều.

Chọn C.

Bài 3: Cho bốn điểm \(S\left( 1,2,3 \right);A\left( 2,2,3 \right);B\left( 1,3,3 \right);C\left( 1,2,4 \right).\) Xác định tọa độ trọng tâm G của hình chóp \(SABC.\)

A. \(\left( 5,9,13 \right)\)       

B. \(\left( \frac{5}{3},3,\frac{13}{3} \right)\)

C. \(\left( 1,\frac{7}{4},\frac{9}{4} \right)\)

D. \(\left( \frac{5}{4},\frac{9}{4},\frac{13}{4} \right)\)

Lời giải

Ta có \(\overrightarrow{GS}+\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}\Leftrightarrow 4\overrightarrow{OG}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OS}\)

\( \Rightarrow G\left\{ \begin{array}{l} x = \frac{1}{4}\left( {2 + 1 + 1 + 1} \right) = \frac{5}{4}\\ y = \frac{1}{4}\left( {2 + 3 + 2 + 2} \right) = \frac{9}{4}\\ z = \frac{1}{4}\left( {3 + 3 + 4 + 3} \right) = \frac{{13}}{4} \end{array} \right.\)

Chọn D.

Bài 4: Cho 3 vectơ \(\overrightarrow{a}=\left( 1,1,-2 \right);\overrightarrow{b}=\left( 2,-1,2 \right);\overrightarrow{c}=\left( -2,3,-2 \right).\) Xác định vec tơ \(\overrightarrow{d}\) thỏa mãn \(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{d}=4;\overrightarrow{b}.\overrightarrow{d}=5;\overrightarrow{c}.\overrightarrow{d}=7.\)

A. \(\left( 3,6,5 \right)\)   

B. \(\left( -3,6,-5 \right)\)    

C. \(\left( \frac{3}{2},6,\frac{5}{2} \right)\)   

D. \(\left( 3,6,\frac{5}{2} \right)\)

Lời giải

\(\left\{ \begin{array}{l} \overrightarrow a .\overrightarrow d = 4\\ \overrightarrow b .\overrightarrow d = 5\\ \overrightarrow c .\overrightarrow d = 7 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} x + y - 2z = 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\ 2x - y + 2z = 5\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\\ - 2x + 3y - 2z = 7\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 3 \right) \end{array} \right.\)

\(\left( 1 \right)+\left( 2 \right):3x=9\Leftrightarrow x=3\) và \(\left( 2 \right)+\left( 3 \right):2y=12\Leftrightarrow y=6\)

\(\left( 1 \right):z=\frac{1}{2}\left( x+y+4 \right)=\frac{1}{2}\left( 3+6-4 \right)=\frac{5}{2}\Rightarrow \overrightarrow{d}=\left( 3;6;\frac{5}{2} \right)\)

Chọn D.

Bài 5: Cho khối tứ diện \(ABCD.\) Nếu \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{a};\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{b};\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{c}.\) Gọi \(M\) là trung điểm của \(BC\) thì:

A. \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{b}}{2}\)   

B. \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}-2\overrightarrow{a}}{2}\)

C. \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\)  

D. \(\overrightarrow{DM}=\frac{\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}}{2}\)

Lời giải

\(\overrightarrow{DM}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DM}=-\overrightarrow{c}+\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}}{2}=\frac{\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}-2\overrightarrow{c}}{2}\)

Chọn C.

 

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Lý thuyết và bài tập về tọa độ của điểm và vectơ trong không gian. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề phép dời hình trong không gian và hai hình bằng nhau

• Ứng dụng hình học không gian giải các bài toán thực tế

Chúc các em học tập tốt!