Ôn thi HSG Toán lớp 9 phần Số học

ÔN THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 PHẦN SỐ HỌC

 

Các em có thể tải về hoặc xem Online để xem toàn bộ nội dung các câu hỏi của tài liệu Ôn thi học sinh giỏi lớp 9 phần Số học.

 

Câu 1: So sánh \(\sqrt {{{2017}^2} - 1} - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \) và \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}.\)

Hướng dẫn giải:

Ta có \(\sqrt {{{2015}^2} - 1}  - \sqrt {{{2014}^2} - 1}  = \frac{{(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} )(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} )}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{({{2015}^2} - 1) - ({{2014}^2} - 1)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{{{2017}^2} - {{2016}^2}}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} = \frac{{(2017 - 2016)(2017 + 2016)}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

\( = \frac{{2017 + 2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1} + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }} > \frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

Vậy \(\sqrt {{{2017}^2} - 1}  - \sqrt {{{2016}^2} - 1} \)  >  \(\frac{{2.2016}}{{\sqrt {{{2017}^2} - 1}  + \sqrt {{{2016}^2} - 1} }}\)

 Câu 2:  Biết \(\sqrt 5 \) là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn:

\(\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} = - 9 - 20\sqrt 5.\)

Hướng dẫn giải:

ĐK: \({\rm{ a}} \ne  \pm b\sqrt 5 \) (*)

 \(\begin{array}{l}\frac{2}{{a + b\sqrt 5 }} - \frac{3}{{a - b\sqrt 5 }} = - 9 - 20\sqrt 5 \\ \Leftrightarrow 2(a - b\sqrt 5 ) - 3(a + b\sqrt 5 ) =  - (9 + 20\sqrt 5 )(a + b\sqrt 5 )(a - b\sqrt 5 )\end{array}\)

\( \Leftrightarrow 9{a^2} - 45{b^2} - a = \sqrt 5 ( - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b)\) (*)

Ta thấy (*) có dạng \(A = B\sqrt 5 \) trong đó A, B \( \in Q\), nếu \(B \ne 0\,thi\,\sqrt 5  = \frac{A}{B} \in I\) vô lí vậy B = 0 ⇒ A= 0.

Do đó (*)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 20{a^2} + 100{b^2} + 5b = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\ - 9{a^2} + 45{b^2} + \frac{9}{4}b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}9{a^2} - 45{b^2} - a = 0\\a = \frac{9}{4}b\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{9}{4}b\\{b^2} - 4b = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 9\\b = 4\end{array} \right.\,\,\,\,hoac \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\b = 0\end{array} \right.\) (không t/m ĐK (*)).

Vậy a = 9; b = 4

Câu 3: Chứng minh rằng  n³ - n chia hết cho 6 với mọi n \( \in \) Z.

Hướng dẫn giải:

P= n³ - n = n(n² -1)

= n(n+1)(n-1)

Ta có n(n+1) \( \vdots \) 2 ⇒ P\( \vdots \) 2

       n(n+1)(n-1) \( \vdots \) 3 ⇒ P\( \vdots \) 3

Mà (2,3) = 1 ⇒  P\( \vdots \) 6

Câu 4:  Tìm số tự nhiên n sao cho n chỉ thỏa mãn hai trong ba tính chất sau:

1. \(n + 8\) là số chính phương.
2. \(n - 3\) là số chính phương.
3. \(n\) chia hết cho 9.

Hướng dẫn giải:

Giả sử tìm được n thỏa tc3 ta đi chứng minh n không thỏa tính chất 1; 2.

\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n + 8\) chia cho 3 dư 2,

mà một số chính phương chỉ chia cho 3 dư 0 hoặc 1(*)

\( \Rightarrow \)\(n + 8\) không phải là số chính phương.  vậy n không thỏa tc1

\(n \vdots 9 \Rightarrow n \vdots 3 \Rightarrow n - 3 \vdots 3\)

 \(n \vdots 9\) mà 3 không chia hết cho 9 \( \Rightarrow n - 3\) không chia hết cho 9

Mà mọi số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9(**)

nên \(n - 3\) không là số chính phương vậy n không thỏa tc2.\(\)

n không thỏa tc 1,2 nên trái giả thiết.

(hs cần chứng minh (*) và (**) nếu không chứng minh thì trừ

0,25 đ cho cả hai phần này)

Ta đi tìm n thỏa mãn tc 1,2 (cho hs 0,75đ nếu làm được phần này mà không lập luận phần trên)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}n + 8 = {p^2}\\n - 3 = {k^2}\end{array} \right.\) (p; k \(\in \) N) \( \Rightarrow {p^2} - {k^2} = 11\)\( \Rightarrow (p - k)(p + k) = 11\)

Do p,k\( \in \)N \( \Rightarrow p + k \in N;p - k \in Z;p + k > p - k\);

Kết hợp với (1) \( \Rightarrow \)\(\left\{ \begin{array}{l}p + k = 11\\p - k = 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{l}p = 6 \\ k = 5\end{array} \right.\)

Câu 5:  Giả sử N = 1.3.5.7…2007.

Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương.

Hướng dẫn giải:

2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1

Có 2N \(\vdots \) 3 \(\Rightarrow \) 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2  (k \(\in \)N)

\(\Rightarrow \) 2N-1 không là số chính phương.

 

Các em có thể tham khảo thêm nhiều tài liệu tham khảo Toán 9 trên Hoc247.net.

Chúc các em học tập tốt và đạt kết quả cao trong các kì thi!