Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét Toán 9

Chuyên đề

ỨNG DỤNG CỦA HỆ THỨC VI - ÉT

Các ứng dụng thường gặp của hệ thức Vi-ét

1. Tìm hai số biết tổng và tích của  chúng.

2. Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm của pt sao cho không phụ thuộc vào tham số.

3. Tìm giá trị tham số của phương trình  thỏa mãn biểu thức chứa nghiệm.

4. Xác định dấu các nghiệm của  phương trình  bậc hai.

5. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức nghiệm.

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

\({{x}^{2}}-Sx+P=0\) (điều kiện để có hai số đó là S² - 4P \( \ge \) 0 )

Ví dụ : Tìm hai số a, b biết tổng S = a + b = - 3 và tích P = ab = - 4

Vì a + b = - 3 và  ab = - 4 nên a, b là nghiệm của phương trình : \({{x}^{2}}+3x-4=0\) 

giải phương trình trên ta được \({{x}_{^{1}}}=1\) và \({{x}_{2}}=-4\)

Vậy     nếu a = 1 thì b = - 4

            nếu a = - 4 thì b = 1

Bài tập áp dụng: Tìm 2 số a và b biết Tổng S và Tích P

1. S = 3            và        P = 2

2. S = -3      và        P = 6

3. S = 9            và        P = 20

4. S = 2x          và        P = x² - y²

Bài tập nâng cao: Tìm 2 số a và b biết

1. a + b = 9  và   a² + b² = 41

2. a - b = 5  và   ab = 36

3. a² + b² = 61  và   ab = 30

Hướng dẫn: 1) Theo đề bài đã biết tổng của hai số a và b , vậy để  áp dụng hệ thức VI- ÉT thì cần tìm tích của a v à b.

T ừ \(a+b=9\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}=81\Leftrightarrow {{a}^{2}}+2ab+{{b}^{2}}=81\Leftrightarrow ab=\frac{81-\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)}{2}=20\)

Suy ra : a, b là nghiệm của phương trình có dạng : \({x^2} - 9x + 20 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 4\\
{x_2} = 5
\end{array} \right.\) 

Vậy:    Nếu a = 4 thì b = 5

            nếu a = 5 thì b = 4

2) Đã biết tích:  ab = 36 do đó cần tìm tổng : a + b

Cách 1: Đặt c = - b ta có : a + c = 5 và a.c = - 36

Suy ra a, c là nghiệm của phương trình : \({x^2} - 5x - 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} =  - 4\\
{x_2} = 9
\end{array} \right.\) 

Do đó nếu a = - 4 thì c = 9 nên b = - 9

                        nếu a = 9 thì c = - 4 nên b = 4

Cách 2: Từ \({{\left( a-b \right)}^{2}}={{\left( a+b \right)}^{2}}-4ab\Rightarrow {{\left( a+b \right)}^{2}}={{\left( a-b \right)}^{2}}+4ab=169\)

\( \Rightarrow {\left( {a + b} \right)^2} = {13^2} \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + b =  - 13\\
a + b = 13
\end{array} \right.\) 

*) Với \(a+b=-13\) và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : \({x^2} + 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} =  - 4\\
{x_2} =  - 9
\end{array} \right.\) 

Vậy a =-4 thì b = -9

*) Với a+b=13 và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình : \({x^2} - 13x + 36 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x_1} = 4\\
{x_2} = 9
\end{array} \right.\) 

Vậy a = 9 thì b = 4

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a ¹ 0 và D ³ 0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x₁ + x₂  v à P = x₁ x₂  theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x₁ và x₂ . Từ đó đưa ra hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x₁ và x₂.

Ví dụ 1: Cho phương trình :  có 2 nghiệm  . Lập hệ thức liên hệ giữa  sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x₁ và x₂ th ì :

\(\left\{ \begin{array}{l}
m - 1 \ne 0\\
\Delta ' \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
{m^2} - (m - 1)(m - 4) \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
5m - 4 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \ne 1\\
m \ge \frac{4}{5}
\end{array} \right.\)

Theo hệ th ức VI- ÉT ta có :

\(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{2m}}{{m - 1}}\\
{x_1}.{x_2} = \frac{{m - 4}}{{m - 1}}
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = 2 + \frac{2}{{m - 1}}(1)\\
{x_1}.{x_2} = 1 - \frac{3}{{m - 1}}(2)
\end{array} \right.\) 

Rút  m từ (1) ta có :

\(\frac{2}{m-1}={{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2\Leftrightarrow m-1=\frac{2}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2}\)    (3)

Rút m từ (2) ta có :

\(\frac{3}{m-1}=1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}\Leftrightarrow m-1=\frac{3}{1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\)                  (4)

Đồng nhất các vế của (3) và (4) ta có:

\(\frac{2}{{{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2}=\frac{3}{1-{{x}_{1}}{{x}_{2}}}\Leftrightarrow 2\left( 1-{{x}_{1}}{{x}_{2}} \right)=3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}-2 \right)\Leftrightarrow 3\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}-8=0\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x₁ và x₂ (thường là a \( \ne \) 0 và \(\Delta \) \(\ge\) 0)

- Từ biểu thức nghiệm đã cho, áp dụng hệ thức VI-ÉT để giải phương trình (có ẩn là tham số).

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm.

Ví dụ 1: Cho phương trình :

Tìm giá trị của tham số m để 2 nghiệm  và  thoả mãn hệ thức : 

Bài giải: Điều kiện để phương trình c ó 2 nghiệm x₁ và x₂ l à :

\(\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{\Delta ' = {{\left[ {3\left( {m - 21} \right)} \right]}^2} - 9(m - 3)m \ge 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{\Delta ' = 9\left( {{m^2} - 2m + 1} \right) - 9{m^2} + 27 \ge 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{\Delta ' = 9\left( {m - 1} \right) \ge 0}
\end{array}} \right.\\
 \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m \ne 0}\\
{m \ge  - 1}
\end{array}} \right.
\end{array}\) 

Theo h ệ thức VI- ÉT ta c ó: \(\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} = \frac{{6(m - 1)}}{m}\\
{x_1}{x_2} = \frac{{9(m - 3)}}{m}
\end{array} \right.\)    v à t ừ gi ả thi ết: \[{{x}_{1}}+{{x}_{2}}={{x}_{1}}{{x}_{2}}\]. Suy ra:

\(\frac{6(m-1)}{m}=\frac{9(m-3)}{m}\Leftrightarrow 6(m-1)=9(m-3)\Leftrightarrow 6m-6=9m-27\Leftrightarrow 3m=21\Leftrightarrow m=7\)

(thoả mãn điều kiện xác định )

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm  và  thoả mãn hệ thức : 

Ví dụ 2:  Cho phương trình : .

Tìm m để 2 nghiệm  và  thoả mãn hệ thức :

Bài giải: Điều kiện để phương trình có 2 nghiệm \({{x}_{1}}\And {{x}_{2}}\) là :

\(\Delta '={{(2m+1)}^{2}}-4({{m}^{2}}+2)\ge 0\)

\(\Leftrightarrow 4{{m}^{2}}+4m+1-4{{m}^{2}}-8\ge 0\)

\(\Leftrightarrow 4m-7\ge 0\Leftrightarrow m\ge \frac{7}{4}\) 

..........

---(Để xem tiếp nội dung của đề thi các em vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)--- 

Trên đây là một phần nội dung tài liệu Chuyên đề Ứng dụng của hệ thức Vi-ét Toán 9. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.