Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc có đáp án

UBND HUYỆN VĨNH LỘC
PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2016-2017

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

 

Bài 1: (4,0 điểm)

Cho biểu thức \(P = \frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)

a. Tìm ĐKXĐ và rút gọn P.

b. Tìm x để P < 0

Bài 2: (4,0 điểm)

a. Giải phương trình: \({x^2} - 7x = 6\sqrt {x + 5}  - 30.\)

b. Cho hai số dương a và b. Chứng minh rằng \((a + b).\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \right) \ge 4\)

Bài 3: (4,0 điểm)

a. Tìm số tự nhiên n sao cho \(A = {n^2} + n + 6\) là số chính phương.

b. Cho các số dương x, y, z thoả mãn \({x^2} + {y^2} = {z^2}\). Chứng minh A = xy chia hết cho 12.

Bài 4: (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AA’, BB’, CC’.

a. Chứng minh \(\Delta ACC' \sim \Delta AB'B\)

b. Trên BB’ lấy M, trên CC’ lấy N sao cho \(\widehat {AMC} = \widehat {ANB} = {90^0}.\) Chứng minh rằng AM = AN.

c. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC và tam giác A’B’C’. Chứng minh rằng \({\cos ^2}A + {\cos ^2}B + {\cos ^2}C = 1 - \frac{{S'}}{S}\)

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho x, y là các số dương thoả mãn \(x + y \ge \frac{{34}}{{35}}.\) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(A = 3x + 4y + \frac{2}{{5x}} + \frac{8}{{7y}}\)  

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9 huyện Vĩnh Lộc:

Câu a: (2,0 điểm)

Tìm được ĐKXĐ: \(x \ge 0,x \ne 0\)

Ta có:

\(\frac{{3x + \sqrt {9x}  - 3}}{{x + \sqrt x  - 2}} - \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 2}} - \frac{{\sqrt x  - 2}}{{\sqrt x  - 1}}\)

\( = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{(\sqrt x  + 1)(\sqrt x  - 1)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} - \frac{{(\sqrt x  - 2)(\sqrt x  + 2)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}}\)

\( = \frac{{3x + 3\sqrt x  - 3 - x + 1 - x + 4}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} = \frac{{x + 3\sqrt x  + 2}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}}\)

\( = \frac{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  + 1)}}{{(\sqrt x  + 2)(\sqrt x  - 1)}} = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}}\)

Câu b: (2,0 điểm)

Ta có: P < 0

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  - 1}} < 0\\ \Rightarrow \sqrt x  - 1 < 0 & (do & \sqrt x  + 1 > 0)\\ \Rightarrow \sqrt x  < 1\\ \Rightarrow x < 1\end{array}\)

Kết hợp với ĐKXĐ ta được: với \(0 \le x < 1\) thì P < 0.

⇒ Trên đây là một phần trích lời giải và nội dung Đề thi HSG Toán 9 năm 2017 có đáp án Phòng GD&ĐT Vĩnh Lộc. Để xem toàn bộ nội dung lời giải chi tiết bằng cách đăng nhập vào web Hoc247.net để tải về máy tính hoặc xem Online.