Đề thi HSG Toán 9 năm 2016 Phòng GD&ĐT Cam Lộ có đáp án

 

PHÒNG GD&ĐT CAM LỘ ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS Năm học: 2016-2017 Khóa ngày 21 tháng 10 năm 2016 Môn: TOÁN   Thời gian làm bài: 120 phút  (không kể thời gian giao đề)

 

Bài 1: (4 điểm)   

Cho biểu thức:    P = \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

a) Rút gọn P.

b) Chứng minh  P \( \ge \) 0.

Bài 2: (2 điểm)

Chứng minh rằng  n³ - n chia hết cho 6 với mọi n \( \in \) Z.

Bài 3: (4 điểm)

Cho hai số dương x, y thoả mãn x + y = 1

a) Tính giá trị của biểu thức M = x(x + 2000) + y(y + 2000) + 2xy + 15

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = \(\left( {1 + \frac{1}{x}} \right)\left( {1 + \frac{1}{y}} \right)\).

Bài 4: (3 điểm)

          Giải phương trình: (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24 = 0

Bài 5: (2 điểm)

          Tìm tất cả các số có 5 chữ số \(\overline {abcde} \)  sao cho \(\sqrt(3){{\overline {abcde} }} = \overline {ab} \)

Bài 6: (5 điểm)

Cho hình vuông ABCD, O là giao điểm hai đường chéo. M là trung điểm của cạnh AB. Trên các cạnh BC, CD lần lượt lấy hai điểm G và H sao cho hai đường thẳng MG và AH song song với nhau.

1. Chứng minh: DH.GB = BM.DA
2.  Tính số đo góc \(\widehat {{\rm{HOG}}}\).

---

Hướng dẫn giải đề thi HSG Toán 9:

Bài 1:

a)

ĐKXĐ:  x \( \ge 0\)

P = \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{3}{{x\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

= \(\frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{3}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} + \frac{2}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

= \(\frac{{x - \sqrt x  + 1 - \,3 + \,2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}} = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {x - \sqrt x  + 1} \right)}}\)

=\(\frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\)

b)

\(\sqrt x \)\( \ge 0\)

\(x - \sqrt x  + 1\) \( = {\left( {\sqrt x  - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} \ge \frac{3}{4}\)

P= \(\frac{{\sqrt x }}{{x - \sqrt x  + 1}}\)  \( \ge 0\)

---

Bài 2:

P= n³ - n = n(n² -1)

= n(n+1)(n-1)

Ta có n(n+1) \( \vdots \) 2 => P\( \vdots \) 2

       n(n+1)(n-1) \( \vdots \) 3=> P\( \vdots \) 3

Mà (2,3) = 1 =>  P\( \vdots \) 6

 

⇒ Trên đây là toàn bộ nội dung đề thi HSG Toán 9 năm 2016 Phòng GD&ĐT Cam Lộ và một phần trích hướng dẫn giải, để xem toàn bộ nội dung bài giải các em vui lòng vào web Hoc247.net có thể xem Online hoặc đăng nhập vào web để tải về máy tính.