Chuyên đề bài toán lãi kép

1. Lãi kép là phương pháp tính lãi mà trong đó lãi kỳ này được nhập vào vốn để tính lãi kì sau. Trong khái niệm này, số tiền lãi không chỉ tính trên số vốn gốc mà còn tính trên số tiền lãi do số vốn gốc sinh ra.

Thuật ngữ lãi kép cũng đồng nghĩa với các thuật ngữ như lãi gộp vốn, lãi ghép vốn hoặc lãi nhập vốn.

2. Công thức tính lãi kép.

Trong khái niệm lãi kép, các khoản tiền lời phát sinh từ hoạt động đầu tư mỗi kì được tính gộp vào vốn ban đầu và bản thân nó lại tiếp tục phát sinh lãi trong suốt thời gian đầu tư.
Bây giờ ta xét bài toán tổng quát sau: Ta đưa vào sử dụng vốn gốc ban đầu \({{P}_{0}}\) với mong muốn đạt được lãi suất \(r\) mỗi kì theo hình thức lãi kép trong thời gian n kì. Vào cuối mỗi kì ta rút tiền lãi và chỉ để lại vốn. Tính\({{P}_{n}}\)tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) sau n kì.

Chú ý: Đơn vị thời gian của mỗi kì có thể là năm, quý, tháng, ngày.

- Ở cuối kì thứ nhất ta có:

• Tiền lãi nhận được: \({{P}_{0}}.r\)

• Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ nhất:

\({{P}_{1}}={{P}_{0}}+{{P}_{0}}.r={{P}_{0}}\left( 1+r \right)\).

- Do lãi nhập vào vốn  đến cuối kì thứ hai ta có:

• Tiền lãi nhận được: \({{P}_{1}}.r\)

• Tổng giá trị đạt được (vốn và lãi) cuối kì thứ 2 là:

\({{P}_{2}}={{P}_{1}}+{{P}_{1}}.r={{P}_{1}}\left( 1+r \right)={{P}_{0}}\left( 1+r \right)\left( 1+r \right)={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{2}}\).

…………

- Một cách tổng quát, sau n kì, tổng giá trị đạt được là \({{P_n} = {P_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n},\,\,\,\left( 2 \right)}\).

Trong đó\({{P}_{n}}\) là tổng giá trị đạt được (vốn và lãi)sau  n kì.

               \({{P}_{0}}\)  là vốn gốc.

                \(r\)  là lãi suất mỗi kì.

Ta cũng tính đượcsố tiền lãi thu được sau n kì là : \({{P_n} - {P_0}}\)

DẠNG 1: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TÌM TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ

Phương pháp

• Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn \({{P}_{0}}\), lãi suất \(r\), số kỳ \(n\) .

• Áp dụng công thức \({{P_n} = {P_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n},\,\,\,\left( 2 \right)}\).

• Qua các bài toán cụ thể, sẽ minh họa rõ hơn cho phương pháp trên.

Bài toán 1: Ông A gửi 10 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép.

a) Nếu theo kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là bao nhiêu?

b) Nếu theo kì hạn 3 tháng với lãi suất 1,65% một quý thì sau 2 năm người đó thu được số tiền là bao nhiêu?

Phân tích bài toán

• Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền ông A rút được từ ngân hàng sau năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức \({{P_n} = {P_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n},\,\,\,\left( 2 \right)}\).

• Ta phải xác định rõ: \({{P}_{0}}=..,r=..,n=....?\), từ đó thay vào công thức (2) tìm được \({{P}_{n}}\).

Hướng dẫn giải

a) Ta có\({{P}_{0}}=10000000\)triệu,\(n=2\) năm, lãi suất trong 1 năm là \(r=7,56%\) một năm.

Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là :

\({P_2} = 10000000 \times {\left( {1 + 7,65\% } \right)^2} \approx 11569000\) đồng.  

b) Ta có\({{P}_{0}}=10000000\) triệu,\(n=2\) năm = 8 quý, lãi suất trong 1 quý là \(r=1,65%\) một quý.

Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 2 năm là :

\({P_2} = 10000000 \times {\left( {1 + 1,65\% } \right)^8} \approx 11399000\) đồng.  

Bài toán 2: Một người đầu tư 100 triệu đồng vào một ngân hàng theo thể thức lãi kép với lãi suất 13% một năm. Hỏi sau 5 năm mới rút lãi thì người đó thu được bao nhiêu tiền lãi? (Giả sử rằng lãi suất hàng năm không đổi)

Phân tích bài toán

• Đề bài yêu cầu tìm số tiền lãi thu được sau 5 năm. Trước hết ta tính tổng số tiền người đó có được sau  năm, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức \({{P_n} = {P_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n},\,\,\,\left( 2 \right)}\). Từ đó ta tính được số tiền lãi thu được sau 5 năm là: \({{P}_{n}}-{{P}_{0}}\)

• Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: \({{P}_{0}}=..;r=..,n=....?\), từ đó thay vào công thức (2) tìm được \({{P}_{n}}\).

Hướng dẫn giải

Ta có\({{P}_{0}}=100\)triệu,\(n=5\) năm, lãi suất trong 1 năm là \(r=13%\) một năm.
Áp dụng công thức (2) ta tính được số tiền người đó thu được sau 5 năm là :

\({P_5} = 100 \times {\left( {1 + 13\% } \right)^5} \approx 184\) triệu đồng. 

Vậy số tiền lãi thu được sau 5 năm là: \({{P}_{5}}-{{P}_{0}}\approx 184-100=84\)triệu đồng.

Bài toán 3: Chị An gửi tiết kiệm 500.000.000 đồng vào ngân hàng A theo kì hạn 3 tháng và lãi suất 0,62% một tháng theo thể thức lãi kép.

a) Hỏi sau 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.

b) Nếu với số tiền trên chị gửi tiết kiệm theo mức kì hạn 6 tháng với lãi suất 0,65% một tháng thì 5 năm chị An nhận được số tiền là bao nhiêu (cả vốn và lãi) ở ngân hàng, biết rằng chị không rút lãi ở tất cả các kì trước đó.

Ảnh minh hoạ: Nguồn internet

Phân tích bài toán

• Đề bài yêu cầu tìm tổng số tiền chị An rút được từ ngân hàng 1 thời gian gửi nhất định, lúc này ta sử dụng trực tiếp công thức \({{P_n} = {P_0}{{\left( {1 + r} \right)}^n},\,\,\,\left( 2 \right)}\)

• Trong công thức (2) ta phải xác định rõ: \({{P}_{0}}=..;r=..,n=....?\), từ đó thay vào công thức (2) tìm được \({{P}_{n}}\).

Hướng dẫn giải

a) Do mỗi kì hạn là 3 tháng nên 5 năm ta có \(n=20\) kì hạn.

Lãi suất mỗi kì hạn là \(r=3\times 0,62%=1,86%\).

Áp dụng công thức (2) sau 5 năm chị An nhận được số tiền là:

\({P_n} = 500000000 \times {\left( {1 + 1,86\% } \right)^{20}} \approx 722.842.104\) đồng.

b) Do mỗi kì hạn là 6 tháng nên 5 năm ta có \(n=10\) kì hạn.

Lãi suất mỗi kì hạn là \(r=6\times 0,65%=3,9%\).

Số tiền nhận được là: \({P_n} = 500000000 \times {\left( {1 + 3,9\% } \right)^{10}} = 733036297,4\) đồng.

DẠNG 2: CHO BIẾT VỐN VÀ LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM N

Phương pháp

• Xác định rõ các giá trị ban đầu: vốn P_o, lãi suất trong mỗi kì, tổng số tiền có được sau kì .

• Để tìm n, áp dụng công thức (2), ta có \({{P}_{n}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\Leftrightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}}=\frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\,\,\,\,\,\left( * \right)\)

Để tìm n từ đẳng thức (*) ta có nhiều cách thực hiện:

Cách 1: Ta coi (*) là một phương trình mũ, giải ra tìm n.

\({{\left( 1+r \right)}^{n}}=\frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\Leftrightarrow n={{\log }_{1+r}}\frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\)

Cách 2: Lấy logarit thập phân hai vế của đẳng thức (*), ta được

\(\log {{\left( 1+r \right)}^{n}}=\log \frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\Leftrightarrow n.\log \left( 1+r \right)=\log \frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\Leftrightarrow n=\frac{\log \frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}}{\log \left( 1+r \right)}\)

Bài toán 4: Doanh nghiệp B muốn thu được 280 triệu đồng bằng cách đầu tư ở hiện tại 170 triệu đồng, với lãi suất sinh lợi là 13% một năm theo thể thức lãi kép. Xác định thời gian đầu tư?

Phân tích bài toán

• Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu \({{P}_{0}}=170000000\) đồng, theo hình thức  lãi kép với lãi suất sinh lợi \(r=13%\) một năm và giá trị đạt được vào cuối đợt đầu tư là \(280000000\) đồng.

• Để tìm thời gian đầu tư trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương pháp giải) .Ở bài toán này ta dùng cách 2.

Hướng dẫn giải

Ta có \({P}_{n}=280000000\)đồng, P_o = 170000000 đồng, r = 13% một năm

Sau n năm đầu tư, doanh nghiệp B thu được tổng số tiền là: \({{P}_{n}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}},\left( * \right)\).

Để tìm n từ công thức (*)  các em sử dụng 2 cách (coi lại phần phương pháp giải)

Trong lời giải này ta sử dụng cách 2, lấy logarit thập phân hai vế. Ta được

\(\left( * \right)\Leftrightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}}=\frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\Leftrightarrow n\log \left( 1+r \right)=\log \frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}\Leftrightarrow n=\frac{\log \frac{{{P}_{n}}}{{{P}_{0}}}}{\log \left( 1+r \right)}\)

\( \Leftrightarrow n = \frac{{\log \frac{{280000000}}{{170000000}}}}{{\log \left( {1 + 13\% } \right)}} \approx 4,08\) năm= 4 năm 1tháng.

Vậy phải đầu tư số vốn trong thời gian 4 năm 1 tháng để đạt được giá trị mong muốn.

Bài toán 5: Một người gửi 60 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 7,56% một năm. Hỏi sau bao nhiêu năm gửi người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số tiền gửi ban đầu (giả sử lãi suất không thay đổi)?

Phân tích bài toán

• Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu \({{P}_{0}}=60.000.000\)đồng, theo hình thức  lãi kép với lãi suất \(r=7,56%\)một năm và giá trị đạt được sau n năm gửi là  đồng.

• Để tìm thời gian gửi trong bao lâu, ta xuất phát từ công thức (2) (Các em coi lại phần phương pháp giải) . Ở bài toán này ta dùng cách 1.

Hướng dẫn giải

Ta có \({{P}_{n}}=120000000\)đồng, \({{P}_{0}}=60000000\)đồng, \(r=7,56%\) một năm
Áp dụng công thức (2): sau n năm gửi, người gửi thu được tổng số tiền là

\({P_n} = {P_0}{\left( {1 + r} \right)^n} \Leftrightarrow {\left( {1 + r} \right)^n} = \frac{{{P_n}}}{{{P_0}}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + r}}\frac{{{P_n}}}{{{P_0}}} \Leftrightarrow n = {\log _{1 + 7,56\% }}\frac{{120000000}}{{60000000}} \approx 9,51\) năm

Vậy sau khoảng 10 năm người gửi sẽ có ít nhất 120 triệu đồng từ số vốn 60 triệu đồng ban đầu.

Bài toán 6: Một khách hàng có 100.000.000 đồng gửi ngân hàng kì hạn 3 tháng với lãi suất 0,65% một tháng theo thể thức lãi kép. Hỏi sau tối thiểu bao nhiêu quý gửi tiền vào ngân hàng, khách mới có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng, giả sử người đó không rút lãi trong tất cả các quý định kì. (Số quý gửi là số nguyên)

Phân tích bài toán

• Ta xác định giả thiết đề bài cho gì: Số tiền ban đầu \({{P}_{0}}=100.000.000\) đồng, gửi theo hình thức  lãi kép với lãi suất 0,65% một tháng và kì hạn gửi là 3 tháng, từ đó suy ra được lãi suất trong 1 kì hạn là: \(r=3\times 0,65%=1,95%\)

• Để tìm thời gian n gửi tối  thiểu  trong bao lâu, để số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu ta làm như sau: Ta tìm tổng số tiền lãi \({{P}_{n}}-{{P}_{0}}\) có được sau n quý. Từ đó ta giải bất phương trình \({{P}_{n}}-{{P}_{0}}>{{P}_{0}}\) suy ra n vần tìm. Các em coi lời giải chi tiết ở dưới.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức (2) ta có: \({{P}_{0}}=100000000\)đồng, lãi suất trong 1 kì hạn là: . Sau n quý tổng số tiền (vốn và lãi)khách hàng có được là:

\({{P}_{n}}={{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}\) suy ra tổng số tiền lãi có được sau n quý là:

Cần tìm n để \({{P}_{n}}-{{P}_{0}}>{{P}_{0}}\Leftrightarrow {{P}_{0}}{{\left( 1+r \right)}^{n}}-{{P}_{0}}>{{P}_{0}}\Leftrightarrow {{\left( 1+r \right)}^{n}}>2\)

\( \Leftrightarrow n > {\log _{1 + r}}2 \Leftrightarrow n > {\log _{1 + 1,95\% }}2 \approx 35,89 \ge 36\)

Vậy sau 36 quý (tức là 9 năm) người đó sẽ có số tiền lãi lớn hơn số tiền gốc ban đầu gửi ngân hàng.

DẠNG 3: CHO BIẾT VỐN, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM LÃI SUẤT

DẠNG 4: CHO BIẾT LÃI SUẤT, TỔNG SỐ TIỀN CÓ ĐƯỢC SAU N KỲ. TÌM VỐN BAN ĐẦU

...

--(Nội dung đầy đủ, chi tiết vui lòng xem tại online hoặc đăng nhập để tải về máy)---

Trên đây là một phần trích đoạn nội dung Chuyên đề bài toán lãi kép. Để xem thêm nhiều tài liệu tham khảo hữu ích khác các em chọn chức năng xem online hoặc đăng nhập vào trang hoc247.net để tải tài liệu về máy tính.

Hy vọng tài liệu này sẽ giúp các em học sinh ôn tập tốt và đạt thành tích cao trong học tập.

Các em quan tâm có thể tham khảo thêm các tài liệu cùng chuyên mục:

• Chuyên đề bài toán lãi đơn

• Các dạng bài toán lãi suất thường gặp

Chúc các em học tập tốt!