Bài tập 15 trang 119 SGK Toán 8 Tập 1

Câu a:

Hình chữ nhật ABCD đã cho có diện tích là S_ACBD = 3.5 = 15 (cm²).

- Hình chữ nhật có kích thước 1cm x 12cm có diện tích là 12cm² và chu vi là ( 1+12).2 = 26(cm) (có 26>15).

- Hình chữ nhật có kích thước 2cmx7cm co diện tích là 14cm² và chu vi là (2+7).2 = 18(cm) (có 18 > 15).

Như vậy, vẽ được nhiều hình chữ nhật có diện tích bé hơn nhưng có chu vi lớn hơn hình chữ nhật  ABCD cho trước.

Câu b:

Chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) đã cho là: 

           \((5+3).2 = 16 \,(cm)\)

Cạnh hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật \(ABCD\) là:

            \(16 : 4 = 4\,(cm).\)

Diện tích hình vuông này là \(4.4 = 16 ({cm^2})\) 

Vậy \({S_{hcn}} < {S_{hv}}\)

Vẽ được một hình vuông như vậy.

+) Tổng quát:  Giả sử hình chữ nhật có các kích thước là \(a, b\). Khi đó: 

- Diện tích của hình chữ nhật đó là: \(ab\)

- Chu vi hình chữ nhật đó là: \(2.(a+b)\) 

- Cạnh của hình vuông có chu vi bằng chu vi hình chữ nhật là: \(\dfrac{{2.(a + b)}}{4}=\dfrac{{a + b}}{2}\)

Vậy diện tích hình vuông đó là: \({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2}\)

Ta có:

\({\left( {\dfrac{{a + b}}{2}} \right)^2} = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{4} \)\(\,= \dfrac{{{a^2} + 2{\rm{a}}b + {b^2}}}{4}\)\( = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2} + 4{\rm{a}}b}}{4} \)\(\,= \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} + ab \ge ab\)

( vì \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{4} \ge 0\) với mọi \(\,a,\,b\))

Vậy trong các hình chữ nhật có cùng chu vi thì hình vuông có diện tích lớn nhất.

-- Mod Toán 8 HỌC247