Bài tập 21 trang 158 SBT Toán 8 Tập 1

Hướng dẫn giải

Chứng minh các tam giác bằng nhau để có:

\({S_{ABC}} = {S_{CDA}}\)   

\({S_{AHC}} = {S_{CKA}}\)

Suy ra: \({S_{ABC}} + {S_{AHC}} = {S_{CDA}} + {S_{CKA}}\)

Hay \({S_{ABCH}} = {S_{ADCK}}\)

Lời giải chi tiết

Xét \(∆ ABC\) và \(∆ CDA\) có: 

\(AC\) chung

\(AB = CD\) (Vì \(ABCD\) là hình bình hành)

\(BC = DA\) (Vì \(ABCD\) là hình bình hành)

Suy ra \(∆ ABC = ∆ CDA \,(c.c.c)\)

\( \Rightarrow {S_{ABC}} = {S_{CDA}}\)     \((1)\)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

\(ABCD\) là hình bình hành nên \(OA = OC\) (tính chất hình bình hành)

Xét hai tam giác vuông \(AOH\) và \(CKO\) có:

\(OA = OC\) (cmt)

\(\widehat {AOH} = \widehat {COK}\) (đối đỉnh)

\( \Rightarrow \Delta AOH = \Delta COK\) (cạnh huyền-góc nhọn)

\( \Rightarrow AH = CK\) (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: \(AH,\, CK\) cùng vuông góc với \(BD\) nên \(AH // CK\)

Tứ giác \(AHCK\) có \(AH = CK\) (cmt) và \(AH //CK\) (cmt) nên \(AHCK\) là hình bình hành. 

Do đó: \(AK = CH\) (tính chất hình bình hành)

Xét \(∆ AHC\) và \(∆ CKA\) có:

\(AC\) chung

\(CH = AK\) (cmt)

\(AH = CK\) (cmt)

\( \Rightarrow \) \(∆ AHC = ∆ CKA \,(c.c.c)\)

\( \Rightarrow {S_{AHC}} = {S_{CKA}}\)    \((2)\)

Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra:

\({S_{ABC}} + {S_{AHC}} = {S_{CDA}} + {S_{CKA}}\)

Hay \({S_{ABCH}} = {S_{ADCK}}\)

-- Mod Toán 8 HỌC247