Bài 1: Định lí Ta-lét trong tam giác - Hình học 8

Lý thuyếtBT SGK FAQ

Với bài học này chúng ta sẽ tìm hiểu về Định lí Ta-lét (Thalès) trong tam giác. Đây là một định lí cực kì quan trọng trong chương trình toán phổ thông.

Tóm tắt lý thuyết

1. Định lí Talet trong tam giác

a. Định lí thuận

Nếu một đường thẳng cắt hai của một tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

\(\Delta ABC;\,\,B'C'\,//BC\, \Rightarrow \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}}.\)

b. Định lí đảo

Nếu một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và định ra trên hai cạnh này những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh còn lại của tam giác.

\(\Delta ABC;\,\frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}} \Rightarrow B'C'//BC\)

Tóm tắt: \(\Delta ABC;\,\,B'C'//BC \Leftrightarrow \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{AC'}}{{AC}}.\)

Chú ý: Định lí Talet thuận và đảo đúng với cả ba trường hợp hình vẽ sau:

 

c. Hệ quả

Một đường thẳng cắt hai cạnh của tam giác và song song với cạnh còn lại thì nó tạo thành một tam giác mới có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh của tam giác đã cho.

\(\Delta ABC;\,\,B'C'//BC \Rightarrow \frac{{AB'}}{{AB}} = \frac{{B'C'}}{{BC}} = \frac{{C'A}}{{CA}}.\)

2. Định lí Talet tổng quát

a. Định lí thuận

Nhiều đường thẳng song song định ra trên hai cát tuyến bất kì những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

\(a//\,\,b\,\,//\,\,c \Rightarrow \frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}\)

Chú ý: Ta chứng minh dễ dàng định lí này bằng cách kẻ qua A’ một đường thẳng song song với \(\Delta \), đường này cắt b, c  theo thứ tự tại các điểm B’’ và C’’. Dễ thấy A’B’’ = AB, B’’C’’ = BC. Sau đó, áp dụng định lí Talet trong tam giác vào tam giác A’C’’C’ để có:

\(\frac{{A'B'}}{{B'C'}} = \frac{{A'B''}}{{B''C''}}.\)

Từ đây suy ra kết luận.

b. Định lí đảo

Cho ba đường thẳng a, b, c cắt hai cát tuyến \(\Delta ,\,\,\Delta '\) tại các điểm theo thứ tự A, B, C và A’, B’, C’ thoả mãn đẳng thức tỉ lệ:

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}\)

Và hai trong ba đường thẳng a, b, c là song song với nhau thì đường thẳng còn lại cũng song song với hai đường kia.

\(\frac{{AB}}{{BC}} = \frac{{A'B'}}{{B'C'}}\) và \(a//b \Rightarrow a//b//c\)

c. Hệ quả (Các đường thẳng đồng quy cắt hai đường thẳng song song)

- Nhiều đường thẳng đồng quy định ra trên hai đường thẳng song song những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ.

\(a//b \Rightarrow \frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} = \frac{{AC}}{{A'C'}}.\)

  

- Ngược lại, nếu nhiều đường thẳng định ra trên hai đường thẳng song song các đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì chúng đồng quy tại một điểm.

\(\frac{{AB}}{{A'B'}} = \frac{{BC}}{{B'C'}} \Rightarrow {\rm{AA}}',BB',CC'\) đồng quy tại O.

Việc chứng minh mệnh đề thuận được dựa trực tiếp vào định lí thuận của định lí Talet

Việc chứng minh mệnh đề đảo thường được nhờ vào phương pháp chứng minh phản chứng.

Chú ý:

1. Người ta thường sử dụng định lí Talet vào việc chứng minh các hệ thức dạng.

\(\begin{array}{l}\frac{a}{b} = \frac{c}{d}\\a.d = b.c\\{a^2} = b.c\end{array}\)

Nhất là khi trong giả thiết cho ta các đường thẳng song song.

2. Định lí đảo của định lí Talet cho ta một cách chứng minh hai đường thẳng song song.

3. Hệ quả của định lí Talet tổng quá cho ta cách chứng minh các đường thẳng đồng quy.


Ví dụ 1: Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC ta lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EC. Trung tuyến AM cắt BD tại P và trung tuyến CN cắt BE tại Q.

1. Chứng minh điểm Q là trung điểm của trung tuyến CN.

2. Chứng minh PQ // AC.

3. Suy ra \(PQ = \frac{1}{2}MN\) và \(PQ = \frac{3}{4}DE.\)

Giải

1. Nối AD. Vì N là trung điểm của AB, D là trung điểm của AE nên ND // BE hay QE // ND.

QE // ND mà E là trung điểm của CD nên suy ra Q là trung điểm của CN.

2. Lí luận như trên, ta chứng minh được P là trung điểm  của AM.

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Như vậy

\(AG = \frac{2}{3}AM,\,\,AP = \frac{1}{2}AM\)

Cho ta \(GP = AG - AP = \frac{2}{3}AM - \frac{1}{2}AM = \frac{1}{6}AM\)

\( \Rightarrow \frac{{GP}}{{GA}} = \frac{1}{6}AM:\frac{2}{3}AM = \frac{1}{4}\)

Chứng minh tương tự, ta có:

\(\frac{{GQ}}{{GC}} = \frac{1}{4}\) hay \(\frac{{GP}}{{GA}} = \frac{{GQ}}{{GC}} \Rightarrow PQ//AC.\)

3. PQ // AC mà MN // AC suy ra PQ // MN,

Cho ta \(\frac{{PQ}}{{MN}} = \frac{{GP}}{{GM}} = \frac{1}{6}AM:\frac{1}{3}AM \Rightarrow \frac{{PQ}}{{MN}} = \frac{1}{2}\)

\( \Rightarrow PQ = \frac{1}{2}MN\)

\(PQ = \frac{1}{2}MN\) mà \(MN = \frac{1}{2}AC \Rightarrow PQ = \frac{1}{4}AC\)

Vì \(PQ = \frac{1}{4}AC\) và \(DE = \frac{1}{3}AC \Rightarrow \frac{{PQ}}{{DE}} = \frac{3}{4}\)

\( \Rightarrow PQ = \frac{3}{4}DE.\)


Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD. Đường thẳng qua B và song song với CD cắt AC tại F bà đường thẳng qua C song song với AB cắt BD tại E. Chứng minh EF // AD.

Giải

Gọi O  là giao điểm của hai đường chéo AC và BD

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác AOB.

\(\begin{array}{l}EC//AB \Rightarrow \frac{{OC}}{{OA}} = \frac{{OE}}{{OB}}\\ \Rightarrow OC.OB = OA.OE\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\end{array}\)

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác COD:

\(\begin{array}{l}FB//DC \Rightarrow \frac{{OC}}{{{\rm{OF}}}} = \frac{{OD}}{{OB}}\\ \Rightarrow OC.OB = OD.{\rm{OF}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{(2)}}\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(OA.OE = OD.{\rm{OF}} \Rightarrow \frac{{OA}}{{OF}} = \frac{{OD}}{{OE}}\) (3)

Từ đẳng thức (3) theo định lí Talet đảo, ta có ngay EF // AD.


Ví dụ 3:  Cho góc nhọn xOy. Trên cạnh Ox lấy hai điểm D, E. Một đường thẳng \({d_1}\) qua D cắt cạnh Oy tại điểm F, đường thẳng \({d_2}\) đi qua E và song song với \({d_1}\), cắt cạnh Oy tại điểm G. Đường thẳng \({d_3}\)qua G và song song với EF, cắt cạnh Ox tại điểm H. Chứng minh hệ thức: \(O{E^2} = OD.OH.\)

Giải

Áp dụng định lí Talet thuận vào tam giác OEG:

\(FD\,\,//\,\,EG \Rightarrow \frac{{OD}}{{OE}} = \frac{{{\rm{OF}}}}{{OG}}\,\,\,\,(1)\)

Với tam giác OGH, ta có:

\(GH//FE \Rightarrow \frac{{OF}}{{OG}} = \frac{{OE}}{{OH}}\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra: \(\frac{{OE}}{{OH}} = \frac{{OD}}{{OE}} \Rightarrow O{E^2} = OD.OH\)

Bài tập minh họa

Bài 1: Cho hình thang ABCD, đáy lớn AB. Từ đỉnh C, kẻ đường thẳng song song với AD, đường này cắt BD tại P và cắt AB tại E. Qua D, kẻ đường thẳng song song với BC, đường này cắt AC tại N và cắt AB tại F. Đường thẳng qua E song song với AC cắt BC tại Q và đường thẳng qua F song song với BD cắt AD tại M.

1. Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng song song với hai đáy.

2. Chứng minh MN = PQ

3. Cho AB = a, DC = b.  Chứng minh rằng các điểm  M, N, P, Q theo thứ tự chia các đoạn thẳng AD, AC, BD, BC theo cùng một tỉ số k. Tính k theo a, b.

Giải

1. Ta có:

\(MF//DB \Rightarrow \frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{FB}}\)

Mà FB = DC nên \(\frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{DC}}\,\,\,\,(1)\)

\(DC{\rm{ }}//{\rm{ }}AF \Rightarrow \frac{{AF}}{{DC}} = \frac{{AN}}{{NC}}\,\,\,\,(2)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{{AM}}{{DM}} = \frac{{AN}}{{NC}}\)

\( \Rightarrow MN\,\,\,//DC\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)\)

Tương tự, ta có: PQ // DC   (4)

\(MN//\,\,DC \Rightarrow MN//\,\,AF \Rightarrow \frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{FN}}{{ND}}.\)

Dễ thấy \(\frac{{FN}}{{ND}} = \frac{{BQ}}{{QC}}\)

Vậy \(\frac{{AM}}{{MD}} = \frac{{BQ}}{{QC}} \Rightarrow MQ//DC\)

Từ (3), (4), (5) theo tiêu đề Ơclit, ta suy ra bốn điểm M, N, P, Q nằm trên cùng một đường thẳng song song với DC.

2. Ta có: \(\frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{AM}}{{AD}};\,\,\frac{{PQ}}{{DC}} = \frac{{BQ}}{{BC}}\,\, \Rightarrow \frac{{MN}}{{DC}} = \frac{{PQ}}{{DC}} \Rightarrow MN = PQ.\)

3. Dễ thấy \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{NA}}{{NC}} = \frac{{PB}}{{PD}} = \frac{{QB}}{{QC}} = \frac{{{\rm{AF}}}}{{DC}} = \frac{{a - b}}{b}.\)


Bài 2: Cho hình thang ABCD đáy lớn CD; O là giao điểm của hai đường chéo. Đường thẳng qua A song song với BC cắt BD ở E và đường thẳng qua B song song với AD cắt đường thẳng AC tại F.

1. Chứng minh EF // AB.

2. Chứng minh hệ thức \(A{B^2}{\rm{ = EF}}{\rm{.CD}}\)

3. Gọi \({S_1},{S_2},{S_3},{S_4}\) theo thứ tự là diện tích các tam giác OAB, OCD, OAD và OBC. Chứng minh hệ thức: \({S_1}.{S_2} = {S_3}.{S_4}.\)

Giải

1. Ta có

\(\begin{array}{l}AE//BC \Rightarrow \frac{{OE}}{{OB}} = \frac{{OA}}{{OC}}\,\,\,(1)\\BF//AD \Rightarrow \frac{{OF}}{{OA}} = \frac{{OB}}{{OD}}\,\,\,(2)\\AB//DC \Rightarrow \frac{{OA}}{{OC}} = \frac{{OB}}{{OD}}\,\,\,(3)\end{array}\)

Từ (1), (2) và (3) suy ra \(\frac{{OE}}{{OB}} = \frac{{OF}}{{OA}} \Rightarrow {\rm{EF}}//BC.\)

2. Dễ thấy AB = MC = DN

\(AM//BC \Rightarrow \frac{{CD}}{{MC}} = \frac{{DB}}{{EB}}\)

Vì MC = AB nên từ đây, ta có \(\frac{{CD}}{{AB}} = \frac{{DB}}{{EB}}\)   (4)

\({\rm{EF//DC}} \Rightarrow \frac{{DN}}{{EF}} = \frac{{DB}}{{EB}}\)

Vì DN = AB nên từ đây, ta có \(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{DB}}{{EB}}\,\,\,\,(5)\)

Từ (4) và (5) suy ra \(\frac{{AB}}{{EF}} = \frac{{CD}}{{AB}} \Rightarrow A{B^2}{\rm{ = EF}}{\rm{.CD}}\)

3. Ta có

\(\begin{array}{l}\frac{{{S_{OAB}}}}{{{S_{OBC}}}} = \frac{{OA}}{{OC}};\frac{{{S_{OAD}}}}{{{S_{OCD}}}} = \frac{{OA}}{{OC}} \Rightarrow \frac{{{S_{OAB}}}}{{{S_{OBC}}}} = \frac{{{S_{OAD}}}}{{{S_{OCD}}}}\\ \Rightarrow {S_1}.{S_2} = {S_3}.{S_4}\end{array}\)


Bài 3: Cho tam giác ABC. Kẻ  trung tuyến  AM. Lấy một điểm D bất kì trên đoạn thẳng AM, J là giao điểm của BD và AC; I là giao điểm của CD và AB. Chứng minh IJ // BC.

Giải

Từ M kẻ đường thẳng song song với DC cắt AB ở P và kẻ đường thẳng song song với DB cắt AC ở Q. Dễ thấy.

IP = PB; JQ = QC

Ta có   \(MP//CI \Rightarrow \frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{AD}}{{AM}}\)

\(MQ//BJ \Rightarrow \frac{{{\rm{AJ}}}}{{AQ}} = \frac{{AD}}{{AM}}\)

Suy ra \(\frac{{AI}}{{AP}} = \frac{{{\rm{AJ}}}}{{AQ}} \Rightarrow {\rm{IJ}}//PQ\,\,\,(1)\)

Ta lại có MP // CI \( \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{PA}}{{PI}}\) mà PI = PB

Nên \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{PA}}{{PB}}\)

Tương tự, ta có \(\frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{QA}}{{QB}}\)

Vậy \(\frac{{PA}}{{PB}} = \frac{{QA}}{{QB}} \Rightarrow PQ//BC\)

Từ (1) và (2) suy ra IJ // BC.

Lời kết

Trên đây là bài học Hình học 8 Chương 3 Bài 1 Định lí Ta-lét (Thalès) trong tam giác và hướng dẫn Giải bài tập Hình học 8 Chương 3 Bài 1 sẽ giúp các em nắm được phương pháp giải các bài toán liên quan đếnĐịnh lí Ta-lét (Thalès) trong tam giác. Để củng cố kiến thức các em có thể làm bài kiểm tra Trắc nghiệm Hình học 8 Chương 3 Bài 1. Các em cũng có thể nêu thắc mắc của mình ở phần Hỏi đáp Hình học 8 Chương 3 Bài 1 để được giải đáp. Cộng đồng Toán HOC247 chúc các em học thật tốt bài học này.

-- Mod Toán Học 8 HỌC247

Được đề xuất cho bạn