Toán 7 Kết nối tri thức Bài 25: Đa thức một biến

- Các biểu thức như \( - 0,5;\;\;\;3{x^2};\;\;\; - \frac{3}{4}{x^5}\) là những ví dụ về đơn thức một biến. Chúng đều là tích của một số với một luỹ thừa của x.

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức. Chẳng hạn:

+ Biểu thức 4x² là một đơn thức, trong đó 4 là hệ số, số mũ 3 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức -0,5x có hệ số là -0,5 và có bậc là 1 (vì x = x¹).

+ Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.

Chú ý: Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

- Với các đơn thức một biến, ta có thể:

+ Cộng (hay trừ) hai đơn thúc cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
 - 3{x^4} + {x^4} = \left( { - 3 + 1} \right){x^4} =  - 2{x^4};\\
3,7{x^2} - 1,2{x^2} = \left( {3,7 - 1,2} \right){x^2} = 2,5{x^2}.
\end{array}\) 

+ Nhân hai đơn thức tuỳ ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
\left( {0,5x} \right).\left( {6{x^2}} \right) = \left( {0,5.6} \right).\left( {x.{x^2}} \right) = 3{x^3};\\
\left( { - 6{x^3}} \right).\left( {\frac{2}{3}{x^2}} \right) = \left[ {\left( { - 6} \right).\frac{2}{3}} \right]\left( {{x^3}.{x^2}} \right) =  - 4{x^5}.
\end{array}\) 

Các biểu thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\) và \(B = 2{x^4} - 3{x^2} + x + 1\) có chung một đặc điểm: chúng đều là tổng của những đơn thức với biến x. Đó là những ví dụ về đa thức một biến.

Một cách tổng quát:

+ Đa thức một biến (gọi tắt là đa thức) là tổng của những đơn thức của cùng một biến; mỗi đơn thức trong tổng gọi là một hạng tử của đa thức đó. + Số 0 cũng được coi là một đa thức, gọi là đa thức không.

Chú ý: Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn:

\(A = A\left( x \right) = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7.\) 

Ví dụ: Đa thức \(2{x^3} - 5{x^2} + 7\) có ba hạng tử là \(2{x^3}; - 5{x^2}\) và 7.

Xét hai đa thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\) và \(B = 2{x^4} - 3{x^2} + {\rm{ }}x + 1\), ta thấy:

+ Trong đa thức A có hai đơn thức cùng bậc là 6x³ và - 4x³.

+ Trong đa thức 8 không có hai đơn thức nào cùng bậc.

Ta gọi các đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.

Ví dụ dưới đây sẽ cho thấy: nếu cho một đa thức có chứa những đơn thức cùng bậc (đa thức chưa thu gọn) thì ta có thể đưa nó về dạng thu gọn.

Ví dụ: Thu gọn đa thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\).

Giải

\(\begin{array}{l}
A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\\
 = 6{x^3} - 4{x^3} - 5{x^2} + 7\\
 = \left( {6{x^3} - 4{x^3}} \right) - 5{x^2} + 7\\
 = \left( {6 - 4} \right){x^3} - 5{x^2} + 7\\
 = 2{x^3} - 5{x^2} + 7
\end{array}\)

Kết quả, ta được đa thức thu gọn \(2{x^3} - 5{x^2} + 7\).

Sắp xếp đa thức theo luỹ thừa giảm của biến

Dưới đây, ta chỉ xét các đa thức khác đa thúc không.

+ Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp các hạng tử của đa thức \(P = 5{x^2} - 2x + 1 - 3{x^4}\) theo luỹ thừa giảm của biến, ta được \(P =  - 3{x^4} + 5{x^2} - 2x + 1\).

+ Trong đa thức P ta thấy có các đơn thức bậc 4 và bậc 2, nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Tuy nhiên khi cần, ta cũng có thể viết:

\(P =  - 3{x^4} + 0{x^3} + 5{x^2} - 2x + 1\)

Ở đây, ta coi rằng hệ số của luỹ thừa bậc 3 là 0.

Chú ý: Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo luỹ thừa tăng của biến. Chẳng hạn, ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức P trên đây như sau: \(P = 1 - 2x + 5{x^2} - 3{x^4}\).

Hạng tử có bậc cao nhất và hạng tử bậc 0 có vai trò đặc biệt trong một đa thức. Ta có định nghĩa:

Trong một đa thức thu gọn và khác đa thức không: + Bậc của hạng tử có bậc cao nhất gọi là bậc của đa thức đó. + Hệ số của hạng tử có bậc cao nhất gọi là hệ số cao nhất của đa thức đó. + Hệ số của hạng tử bậc 0 gọi là hệ số tự do của đa thức đó.

Chú ý

+ Đa thức không là đa thức không có bậc.

+ Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).

+ Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

Ví dụ: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức: \(P =  - {x^3} - 2{x^2} + {x^3} + 4x + 5.\)

Giải

Trước hết ta thu gọn P:

\(\begin{array}{l}
P =  - {x^3} - 2{x^2} + {x^3} + 4x + 5\\
 =  - \left( { - {x^3} + {x^3}} \right) - 2{x^2} + 4x + 5\\
 =  - 2{x^2} + 4x + 5
\end{array}\)

Trong dạng thu gọn của P, hạng tử có bậc cao nhất là -2x² nên bậc của P là 2, hệ số cao nhất là -2; hạng tử bậc 0 là 5 nên hệ số tự do là 5.

Nếu tại x= a, đa thức F{(x) có giá trị bằng 0, tức là F(a) = 0, thì ta gọi a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức F(x).

Ví dụ:

a) x= -3 và x = 0 là hai nghiệm của đa thức A(x) = 2x² + 6x vì A(0) = 0 và A(-3) = 2 . (-3)² + 6 . (-3) = 0.

b) Đa thức B(x) = x² + 1 không có nghiệm vì tại giá trị bất kì của x, ta luôn có \({x^2} \ge 0\) nên \(B\left( x \right) = {x^2} + 1{\rm{ }} \ge 1 > 0\).

Nhận xét

Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x= 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Chẳng hạn, trong ví dụ trên cho thấy đa thức A(x) = 2x² + 6x có hệ số tự do bằng 0 và có nghiệm x = 0.

Câu 1: Tính: \(a)5{x^3} + {x^3};b)\dfrac{7}{4}{x^5} - \dfrac{3}{4}{x^5};c)( - 0,25{x^2}).(8{x^3})\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}a)5{x^3} + {x^3} = (5 + 1){x^3} = 6{x^3}\\b)\dfrac{7}{4}{x^5} - \dfrac{3}{4}{x^5} = \left( {\dfrac{7}{4} - \dfrac{3}{4}} \right){x^5} = \dfrac{4}{4}{x^5} = {x^5}\\c)( - 0,25{x^2}).(8{x^3}) = ( - 0,25.8).({x^2}.{x^3}) =  - 2.{x^5}\end{array}\)

Câu 2: Thu gọn đa thức: \(P = 2{x^3} - 5{x^2} + 4{x^3} + 4x + 9 + x\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}P = 2{x^3} - 5{x^2} + 4{x^3} + 4x + 9 + x\\ = \left( {2{x^3} + 4{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {4x + x} \right) + 9\\ = 6{x^3} - 5{x^2} + 5x + 9\end{array}\)\(\)

Câu 3: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x² - 2x + 1 - 3x⁴;

b) 1,5x² - 3,4x⁴ + 0,5x² - 1.

Hướng dẫn giải

a) 5x²-2x+1-3x⁴ = -3x⁴ + 5x² - 2x + 1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3

+ Hệ số tự do là: 1

b) 1,5x²-3,4x⁴+0,5x²-1 = -3,4x⁴ + (1,5x² + 0,5x²) -1 = -3,4x⁴ + 2x² -1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3,4

+ Hệ số tự do là: -1

Câu 4: Xét đa thức G(x) = x² – 4. Giá trị của biểu thức G(x) tại x =3 còn gọi là giá trị của đa thức G(x) tại x =3 và được kí hiệu là G(3). Như vậy, ta có: G(3) = 3² - 4 = 5

Tính các giá trị G(-2); G(1); G(0); G(1); G(2).

Hướng dẫn giải

G(-2) = (-2)² – 4 = 4 – 4 = 0;

G(1) = 1² – 4 = 1 – 4 = -3;

G(0) = 0² – 4 = 0 – 4 = -4;

G(1) = 1² – 4 = 1- 4 = -3;

G(2) = 2² – 4 = 4 – 4 = 0

Qua bài giảng ở trên, giúp các em học sinh:

- Nhận biết đơn thức (một biến) và bậc của đơn thức.

- Nhận biết đa thức (một biến) và các hạng tử của nó.

- Thu gọn và sắp xếp đa thức.

- Nhận biết bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của một đa thức.

- Tính giá trị của một đa thức khi biết giá tị của biến.

- Nhận biết nghiệm của một đa thức

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 25 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Tính giá trị của đa thức \(a{x^5} + b{x^4} + cx + 1\) tại x = 1 với a, b, c là các hằng số

  • A. a + b + c
  • B. a + b – c + 1
  • C. a + b + c + 1
  • D. Không tính được

• Câu 2:

  Bậc của đa thức \(Q\left( x \right) = {x^6} + 5{x^4} + 4{x^5} + {x^3} - {x^6} - 5{x^4} + 6\) là

  • A. 6
  • B. 5
  • C. 4
  • D. 3

• Câu 3:

  Giá trị của đa thức \(P\left( x \right) = {x^{2\;}} + 8x - 16\) tại x = 4 và x = - 4 là

  • A. P(4) = 64; P(-4) = 0
  • B. P(4) = 64; P(-4) = 64
  • C. P(4) = 0 ; P(-4) = 0
  • D. P(4) = 0; P(-4) = 64

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Kết nối tri thức Chương 7 Bài 25 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Câu hỏi trang 25 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Câu hỏi trang 26 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 1 trang 26 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Câu hỏi trang 26 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 2 trang 26 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 3 trang 27 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 4 trang 27 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 1 trang 28 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 2 trang 28 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 3 trang 28 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Câu hỏi trang 28 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 5 trang 28 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 4 trang 29 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Hoạt động 5 trang 29 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Luyện tập 6 trang 29 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Vận dụng trang 29 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.5 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.6 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.7 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.8 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.9 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.10 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.11 trang 30 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.7 trang 24 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.8 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.9 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.10 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.11 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.12 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.13 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.14 trang 25 SBT Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!