Toán 7 Kết nối tri thức Luyện tập chung trang 34

a) Biểu thức đại số

Ta đã biết những số và chữ được nối với nhau bởi dấu của các phép tính (cộng, trừ, nhân, chia, nâng lên luỹ thừa) làm thành một biểu thức. Người ta thường phân biệt biểu thức số và biểu thức chứa chữ.

Chú ý

+ Để cho gọn, khi viết các biểu thức đại số, ta không viết dấu nhân giữa các biến, cũng như giữa biến và số. Chẳng hạn, a . b và 2 . a tương ứng có thể viết là ab và 2a.

+ Thông thường ta không viết thừa số 1 trong một tích. Chẳng hạn, 1xy viết là xy; (-1)ab viết là -ab.

+ Với các biến, ta cũng có thể áp dụng các quy tắc và tính chất của các phép tính như đối với các số. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
x + x = 2x;\;\;\;\;x.x.x = {x^3};\;\;\;\;x + y = y + x;\\
x\left( {y + z} \right) = xy + xz;\;\;\;\; - \left( {x + y - z} \right) =  - x - y + z;...
\end{array}\)

b) Giá trị của biểu thức đại số

Nếu thay p = 5 và q = 7 vào biểu thức A = 3p - q rồi thực hiện phép tính, ta được: A = 3 . 5 - 7 = 8.

Khi đó, ta nói: 8 là giá trị của biểu thức A tại p = 5 và q = 7 hay khi p= 5 và q = 7 thì giá trị của biểu thức A là 8.

a) Đơn thức một biến

- Các biểu thức như \( - 0,5;\;\;\;3{x^2};\;\;\; - \frac{3}{4}{x^5}\) là những ví dụ về đơn thức một biến. Chúng đều là tích của một số với một luỹ thừa của x.

Đơn thức một biến (gọi tắt là đơn thức) là biểu thức đại số có dạng tích của một số thực với một luỹ thừa của biến, trong đó số thực gọi là hệ số, số mũ của luỹ thừa của biến gọi là bậc của đơn thức. Chẳng hạn:

+ Biểu thức 4x2 là một đơn thức, trong đó 4 là hệ số, số mũ 3 của x là bậc của đơn thức đó.

+ Đơn thức -0,5x có hệ số là -0,5 và có bậc là 1 (vì x = x1).

+ Một số khác 0 là một đơn thức bậc 0.

Chú ý: Số 0 cũng được coi là một đơn thức. Đơn thức này không có bậc.

- Với các đơn thức một biến, ta có thể:

+ Cộng (hay trừ) hai đơn thúc cùng bậc bằng cách cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên luỹ thừa của biến. Tổng nhận được là một đơn thức. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
 - 3{x^4} + {x^4} = \left( { - 3 + 1} \right){x^4} =  - 2{x^4};\\
3,7{x^2} - 1,2{x^2} = \left( {3,7 - 1,2} \right){x^2} = 2,5{x^2}.
\end{array}\) 

+ Nhân hai đơn thức tuỳ ý bằng cách nhân hai hệ số với nhau và nhân hai luỹ thừa của biến với nhau. Tích nhận được cũng là một đơn thức. Chẳng hạn:

\(\begin{array}{l}
\left( {0,5x} \right).\left( {6{x^2}} \right) = \left( {0,5.6} \right).\left( {x.{x^2}} \right) = 3{x^3};\\
\left( { - 6{x^3}} \right).\left( {\frac{2}{3}{x^2}} \right) = \left[ {\left( { - 6} \right).\frac{2}{3}} \right]\left( {{x^3}.{x^2}} \right) =  - 4{x^5}.
\end{array}\) 

b) Khái niệm đa thức một biến

Các biểu thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\) và \(B = 2{x^4} - 3{x^2} + x + 1\) có chung một đặc điểm: chúng đều là tổng của những đơn thức với biến x. Đó là những ví dụ về đa thức một biến.

Một cách tổng quát:

Chú ý: Ta thường kí hiệu đa thức bằng một chữ cái in hoa. Đôi khi còn viết thêm kí hiệu biến trong ngoặc đơn.

Chẳng hạn:

\(A = A\left( x \right) = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7.\) 

c) Đa thức một biến thu gọn

Xét hai đa thức \(A = 6{x^3} - 5{x^2} - 4{x^3} + 7\) và \(B = 2{x^4} - 3{x^2} + {\rm{ }}x + 1\), ta thấy:

+ Trong đa thức A có hai đơn thức cùng bậc là 6x3 và - 4x3.

+ Trong đa thức 8 không có hai đơn thức nào cùng bậc.

Ta gọi các đa thức không chứa hai đơn thức nào cùng bậc là các đa thức thu gọn.

d) Sắp xếp đa thức một biến

Dưới đây, ta chỉ xét các đa thức khác đa thúc không.

+ Để thuận lợi cho việc tính toán các đa thức một biến, người ta thường viết chúng dưới dạng thu gọn và sắp xếp các hạng tử của nó theo luỹ thừa giảm của biến.

Chẳng hạn, sắp xếp các hạng tử của đa thức \(P = 5{x^2} - 2x + 1 - 3{x^4}\) theo luỹ thừa giảm của biến, ta được \(P =  - 3{x^4} + 5{x^2} - 2x + 1\).

+ Trong đa thức P ta thấy có các đơn thức bậc 4 và bậc 2, nhưng khuyết đơn thức bậc 3. Tuy nhiên khi cần, ta cũng có thể viết:

\(P =  - 3{x^4} + 0{x^3} + 5{x^2} - 2x + 1\)

Ở đây, ta coi rằng hệ số của luỹ thừa bậc 3 là 0.

Chú ý: Người ta cũng có thể sắp xếp đa thức theo luỹ thừa tăng của biến. Chẳng hạn, ta có thể sắp xếp các hạng tử của đa thức P trên đây như sau: \(P = 1 - 2x + 5{x^2} - 3{x^4}\).

e) Bậc và các hệ số của một đa thức

Hạng tử có bậc cao nhất và hạng tử bậc 0 có vai trò đặc biệt trong một đa thức. Ta có định nghĩa:

Chú ý

+ Đa thức không là đa thức không có bậc.

+ Trong một đa thức thu gọn, hệ số cao nhất phải khác 0 (các hệ số khác có thể bằng 0).

+ Muốn tìm bậc của một đa thức chưa thu gọn, ta phải thu gọn đa thức đó.

f) Nghiệm của đa thức một biến

Nhận xét

Nếu một đa thức có hệ số tự do bằng 0 thì x= 0 là một nghiệm của đa thức đó.

Chẳng hạn, trong ví dụ trên cho thấy đa thức A(x) = 2x2 + 6x có hệ số tự do bằng 0 và có nghiệm x = 0.

a) Cộng hai đa thức một biến

Chú ý

Phép cộng đa thức cũng có các tính chất như phép cộng các số thực. Cụ thể là:

+  Tính chất giao hoán: A + B = B+ A.

+ Tính chất kết hợp: (A + B) + C = A + (B + C).

+  Cộng với đa thức không: A + 0 = 0 + A = A.

b) Trừ hai đa thức một biến

Tương tự như các số, đối với các đa thức P, Q, R, ta cũng có:

Nếu Q + R = P thì R = P - Q.

Nếu R = P - Q thì Q + R = P.

Câu 1: Trong các biểu thức sau, em hãy chỉ ra biểu thức số, biểu thức chứa chữ.

a) 23 + 8.9;     

b) 3a+7;

c) (34 – 5) : 8; 

d) \((\dfrac{3}{x} - {y^2}) + 2\)

Hướng dẫn giải

a) Biểu thức số vì trong biểu thức không chứa chữ

b) Biểu thức chữ vì trong biểu thức chứa chữ

c) Biểu thức số vì trong biểu thức không chứa chữ

d) Biểu thức chữ vì trong biểu thức chứa chữ

Câu 2: Thu gọn đa thức: \(P = 2{x^3} - 5{x^2} + 4{x^3} + 4x + 9 + x\)

Hướng dẫn giải

\(\begin{array}{l}P = 2{x^3} - 5{x^2} + 4{x^3} + 4x + 9 + x\\ = \left( {2{x^3} + 4{x^3}} \right) - 5{x^2} + \left( {4x + x} \right) + 9\\ = 6{x^3} - 5{x^2} + 5x + 9\end{array}\)\(\)

Câu 3: Xác định bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

a) 5x2 - 2x + 1 - 3x4;

b) 1,5x2 - 3,4x4 + 0,5x2 - 1.

Hướng dẫn giải

a) 5x2-2x+1-3x4 = -3x4 + 5x2 - 2x + 1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3

+ Hệ số tự do là: 1

b) 1,5x2-3,4x4+0,5x2-1 = -3,4x4 + (1,5x2 + 0,5x2) -1 = -3,4x4 + 2x2 -1

+ Bậc của đa thức là: 4

+ Hệ số cao nhất là: -3,4

+ Hệ số tự do là: -1

Câu 4: Cho hai đa thức P = x4 + 3x3 – 5x2 + 7x và Q = -x3 + 4x2 – 2x +1. Tìm hiệu P – Q bằng cách bỏ dấu ngoặc rồi nhóm các hạng tử cùng bậc và thu gọn.

Hướng dẫn giải

+ Bước 1: Bỏ dấu ngoặc: Trước dấu ngoặc là dấu “ –“ thì ta bỏ dấu ngoặc đồng thời đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.

 +Bước 2: Nhóm các hạng tử cùng bậc

+ Bước 3: Thu gọn

Ta có: P – Q = x4 + 3x3 – 5x2 + 7x – (-x3 + 4x2 – 2x +1)

= x4 + 3x3 – 5x2 + 7x + x3 - 4x2 - 4x2 + 2x – 1

= x4 + (3x3+ x3 ) + (– 5x2 - 4x2 ) + (7x + 2x ) – 1

= x4 + 4x3 – 9x2 + 9x – 1

Qua bài giảng ở trên, giúp các em học sinh:

- Hệ thống và ôn tập lại nhưng nội dung đã học.

- Áp dụng vào giải các bài tập SGK Toán 7 Kết nối tri thức.

Để củng cố bài học xin mời các em cùng làm Bài kiểm tra Trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức Chương 6 Luyện tập chung trang 34 để kiểm tra xem mình đã nắm được nội dung bài học hay chưa.

• Câu 1:

  Cho đa thức \(A = x^4 - 4x^3+ x - 3x^2 + 1.\) Tính giá trị của (A ) tại x =  - 2.

  • A. -35
  • B. 53
  • C. 33
  • D. 35

• Câu 2:

  Thu gọn đa thức \((5{x^3} + {\rm{ }}4{x^2} - 1) - (4{x^3} - 4{x^2} + 1)\) ta được

  • A. 0
  • B. x³ + 8x² - 2
  • C. -x³ + 8x² - 2
  • D. -x³ - 8x² - 2

• Câu 3:

  Cho hai đa thức \(M\left( y \right) = 5{y^3} + y - 6\) và \(N\left( y \right) = 5{y^2} + y - 6\). Tìm đa thức K(y) = M(y) - N(y)

  • A. K(y) = 5y³ - 5y²
  • B. K(y) = 5y³ + 5y²
  • C. K(y) = 0
  • D. K(y) = 10y³ + 2y -12

Câu 4-10: Mời các em đăng nhập xem tiếp nội dung và thi thử Online để củng cố kiến thức và nắm vững hơn về bài học này nhé!

Bên cạnh đó các em có thể xem phần hướng dẫn Giải bài tập Toán 7 Kết nối tri thức Chương 6 Luyện tập chung trang 34 để giúp các em nắm vững bài học và các phương pháp giải bài tập.

Giải bài 7.18 trang 35 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.19 trang 35 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.20 trang 35 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.21 trang 35 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Giải bài 7.22 trang 35 SGK Toán 7 Kết nối tri thức tập 2 - KNTT

Trong quá trình học tập nếu có thắc mắc hay cần trợ giúp gì thì các em hãy comment ở mục Hỏi đáp, Cộng đồng Toán HOC247 sẽ hỗ trợ cho các em một cách nhanh chóng!

Chúc các em học tập tốt và luôn đạt thành tích cao trong học tập!