Giải bài tập Toán 11 Kết nối tri thức Bài 19: Lôgarit

Tìm x, biết

a) \( 2^{x}=8\)

b)\(2^{x}=\frac{1}{4}\)

c)\(2^{x}=\sqrt{2}\)

Tính 

a)\(\log_{2}3\sqrt{3}\)

b)\(\log_{\frac{1}{2}}32\)

Cho \(M=2^{5},N=2^{3}\)

a)\(\log_{2}(MN)\) và \(\log_{2}M+\log_{2}N\);

b) \(\log_{2}(\frac{M}{N})\) và \( \log_{2}M-\log_{2}N\);

Rút gọn biểu thức: 

\(A=\log_{2}(x^{2}-x)-\log_{2}(x+1)-\log_{2}(x-1)(x>1)\)

Giả sử đã cho \(log_{a}M\) và ta muốn tính \(log_{b}M\). Để tìm mối liên hệ giữa \(log_{a}M\) và  \(log_{b}M\), hãy thực hiện các yêu cầu sau:

a) Đặt y = \(log_{a}M\) , tính M theo y,

b) Lấy lôgarit theo cơ số b cả hai vế của kết quả nhận được trong câu a, từ đó suy ra
công thức mới để tính y.

Không dùng máy tính cầm tay, hãy tính \(log_{9}\frac{1}{27}\)

Cô Hương gửi tiết kiệm 100 triệu đồng lãi suất 6% một năm.

a) Tính số tiền cô Hương thu được (cả vốn lẫn lãi ) sau 1 năm, nếu lãi suất được tính theo một trong các thể thức sau:
- Lãi kép kì hạn 12 tháng 
- Lãi kép kì hạn 1 tháng
- Lãi kép liên tục.

b) Tính thời gian cần thiết để cô Hương thu được số tiền (cả vốn lẫn lãi) là 150 triệu đồng nếu gửi theo thể thức lãi kép liên tục (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Tính 

a)\(\log_{2}2^{-12}\)

b)\(lne^{\sqrt{2}}\)

c)\(\log_{8}16-\log_{8}2\)

d)\(\log_{2}6.\log_{6}8\)

Viết mỗi biểu thức sau thành lôgarit của một biểu thức (giả thiết các biểu thức đều có nghĩa):

a)\(A=ln(\frac{x}{x-1})+ln(\frac{x+1}{x})-ln(x^{2}-1)\)

b)\(B=21\log_{3}\sqrt[3]{x}+\log_{3}(9x^{2})-\log_{3}9\)

Rút gọn các biểu thức sau :

a) \(A=\log_{\frac{1}{3}}5+2\log_{9}25-\log_{\sqrt{5}}\frac{1}{5}\)

b) \(A=\log_{a}M^{2}+\log_{a^{2}}M^{4}\)

Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a)\(A=\log_{2}3.\log_{3}4.\log_{4}5.\log_{5}6.\log_{6}7.\log_{7}8\)

b)\(A=\log_{2}2.\log_{2}4...\log_{2}2^{n}\)

Biết rằng khi độ cao tăng lên, áp suất không khí sẽ giảm và công thức tính áp suất dựa trên độ cao là

a= 15 500(5 - log p)

trong đó a là độ cao so với mực nước biển (tính bằng mét) và p là áp suất không khí (tính bằng pascal).

Tính áp suất không khí ở đỉnh Everest có độ cao 8 850m so với mực nước biển. 

Mức cường độ âm L đo bằng decibel (dB) của âm thanh có cường độ I (đo bằng sát trên mét vuông, kí hiệu là W/m? ) được định nghĩa như sau:

\(L(I)=10\log\frac{I}{I_{0}} \) 

trong đó \(I_{0}=10^{-12} W/m^{2}\) là cường độ âm thanh nhỏ nhất mà tai người có thể phát hiện được (gọi là ngưỡng nghe).

Xác định mức cường độ âm của mỗi âm sau:

a) Cuộc trò chuyện bình thường có cường độ \(I=10^{-7} W/m^{2}\)

b) Giao thông thành phố đông đúc có cường độ \(I=10^{-3} W/m^{2}\)

Tính:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}\frac{1}{{64}}\)

b) \({\rm{log}}1000\);

c) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}1250 - {\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}10\);

d) \({4^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3}}\).

Chứng minh rằng:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x + \sqrt {{x^2} - 1} } \right) + {\rm{lo}}{{\rm{g}}_a}\left( {x - \sqrt {{x^2} - 1} } \right) = 0\);

b) \({\rm{ln}}\left( {1 + {e^{2x}}} \right) = 2x + {\rm{ln}}\left( {1 + {e^{ - 2x}}} \right)\).

Biết \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}3 \approx 1,585\). Hãy tính:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}48\);

b) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}27\).

Đặt \(a = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}5,b = {\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}5\). Hãy biểu diễn \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{15}}10\) theo a và \(b\)?

Tìm \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_{49}}32\), biết \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_2}14 = a\)?

So sánh các số sau:

a) \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_3}4\) và \({\rm{lo}}{{\rm{g}}_4}\frac{1}{3}\);

b) \({2^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_6}3}}\) và \({3^{{\rm{lo}}{{\rm{g}}_5}\frac{1}{2}}}\).

Biết rằng số chữ số của một số nguyên dương \({\rm{N}}\) viết trong hệ thập phân được cho bởi công thức \(\left[ {{\rm{log}}N} \right] + 1\), ở đó [log \(N]\) là phần nguyên của số thực dương \({\rm{log}}N\). Tìm số các chữ số của \({2^{2023}}{\rm{khi}}\) viết trong hệ thập phân?

Khi gửi tiết kiệm \(P\) (đồng) theo thể thức trả lãi kép định kì với lãi suất mỗi kì là \(r\) ( \(r\) cho dưới dạng số thập phân) thì số tiền \(A\) (cả vốn lẫn lãi) nhận được sau \(t\) kì gửi là \(A = P{(1 + r)^t}\) (đồng). Tính thời gian gửi tiết kiệm cần thiết đề số tiền ban đầu tăng gấp đôi?

Một người gửi tiết kiệm 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn 6 tháng với lãi suất \(8{\rm{\% }}\) một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Hỏi sau bao lâu người đó nhận được ít nhất 120 triệu đồng?

Nồng độ cồn trong máu (BAC) là chỉ số dùng để đo lượng cồn trong máu của một người. Chẳng hạn, \({\rm{BAC}}\,\,0,02{\rm{\% }}\) hay \(0,2{\rm{mg}}/{\rm{ml}}\), nghĩa là có \(0,02{\rm{\;g}}\) cồn trong \(100{\rm{ml}}\) máu. Nếu một người với \({\rm{BAC}}\) bằng \(0,02{\rm{\% }}\) có nguy cơ bị tai nạn ô tô cao gấp 1,4 lần so với một người không uống rượu, thì nguy cơ tương đối của tai nạn với \({\rm{BAC}}\,\,0,02{\rm{\% }}\) là 1,4. Nghiên cứu y tế gần đây cho thấy rằng nguy cơ tương đối của việc gặp tai nạn khi đang lái ô tô có thể được mô hình hoá bằng một phương trình có dạng \(R = {e^{kx}}{\rm{,\;}}\) trong đó \( \times \left( {\rm{\% }} \right)\) là nồng độ cồn trong máu và \(k\) là một hằng số.

a) Nghiên cứu chỉ ra rằng nguy cơ tương đối của một người bị tai nạn với \({\rm{BAC}}\) bằng \(0,02{\rm{\% }}\) là 1,4. Tìm hằng số \({\rm{k}}\) trong phương trình?

b) Nguy cơ tương đối là bao nhiêu nếu nồng độ cồn trong máu là \(0,17{\rm{\% }}\)?

c) Tìm BAC tương ứng với nguy cơ tương đối là 100?

d) Giả sử nếu một người có nguy cơ tương đối từ 5 trở lên sẽ không được phép lái xe, thì một người có nồng độ cồn trong máu từ bao nhiêu trở lên sẽ không được phép lái xe?