Giải bài tập SGK Bài 5 Chương 5 Toán 11 Cơ bản & Nâng cao

Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra:

a) \(f(x)=(x+10)^6, f''(2);\)

b) \(f(x)=sin3x,f'(-\frac{\pi }{2}),f''(0),f''(\frac{\pi }{18}).\)

Tìm đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a) \(y=\frac{1}{1-x}\)

b) \(y=\frac{1}{\sqrt{1-x}}\)

c) \(y= tanx.\)

d) \(y= cos^2x.\)

Tìm đạo hàm cấp hai của \(y = \sin 5x\cos 2x\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{{2x + 1}}{{{x^2} + x - 2}}\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{x}{{{x^2} - 1}}\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{{x + 1}}{{x - 2}}\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {x^2}\sin x\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = x\sqrt {1 + {x^2}} \)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \left( {1 - {x^2}} \right)\cos x\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sin x\sin 2x\sin 3x\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = x\cos 2x\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{1}{{\sqrt x }}\)

Cho \(y = \frac{{x - 2}}{{x + 3}}\). Tìm y′′

A. \(\frac{{10}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

B. \(\frac{{ - 10}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

C. \(\frac{5}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

D. \(\frac{{ - 5}}{{{{\left( {x + 3} \right)}^2}}}\)

Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \sqrt[3]{x}\)

A. \(\frac{2}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}};\)

B. \(\frac{5}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}};\)

C. \( - \frac{2}{{9\sqrt[3]{{{x^5}}}}};\)

D. \( - \frac{2}{{3\sqrt[3]{{{x^5}}}}}\)

Cho hàm số \(y = \sin 3x\cos x\). Tìm y′′.

A. \(y'' =  - 8\sin 4x - 2\sin 2x\)

B. \(y'' = 8\sin 4x + 2\sin 2x\)

C. \(y'' =  - 4\sin 4x - 2\sin 2x\)

D. \(y'' =  - 8\sin 4x + 2\sin 2x\)

Tìm y′′ biết \(y = \frac{{{x^2}}}{{1 - x}}\)

A. \(\frac{{ - 4}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)

B. \(\frac{{ - 2}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)

C. \(\frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^3}}}\)

D. \(\frac{2}{{{{\left( {1 - x} \right)}^5}}}\)

Cho hàm số \(f(x) = \cos 3x\). Tính (f''\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\)

Cho hàm số \(g\left( t \right) = {\sin ^2}2t\). Tính \(g''\left( {\frac{\pi }{8}} \right),g''\left( {\frac{\pi }{{12}}} \right)\)

Tìm đạo hàm của mỗi hàm số sau đến cấp được cho kèm theo.

\(\begin{array}{l}
a)f\left( x \right) = {x^4} - \cos 2x,{f^{\left( 4 \right)}}\left( x \right)\\
b)f\left( x \right) = {\cos ^2}x,{f^{\left( 5 \right)}}\left( x \right)\\
c)f\left( x \right) = {\left( {x + 10} \right)^6},{f^{\left( n \right)}}\left( x \right)
\end{array}\)

Chứng minh rằng với mọi n ≥ 1, ta có:

a) Nếu \(f(x) = \frac{1}{x}\) thì \({f^{(n)}}(x) = \frac{{{{( - 1)}^n}.n!}}{{{x^{n + 1}}}}\)

b) Nếu f(x) = cos x thì \({f^{(4n)}}(x) = cosx.\)

c) Nếu f(x) = sin ax (a là hằng số) thì \({f^{(4n)}}(x) = {a^{4n}}sinax\)

Vận tốc của một chất điểm chuyển động được biểu thị bởi công thức v(t) = 8t + 3t², trong đó t > 0, t tính bằng giây (s) và v(t) tính bằng mét/giây (m/s). Tìm gia tốc của chất điểm

a. Tại thời điểm t = 4

b. Tại thời điểm mà vận tốc của chuyển động bằng 11.

Tìm vi phân của mỗi hàm số sau 

\(\begin{array}{l}
a)y = {\tan ^2}3x - \cot 3{x^2}\\
b)y = \sqrt {{{\cos }^2}2x + 1} 
\end{array}\)

Dùng vi phân để tính gần đúng (làm tròn kết quả đến hàng phần nghìn) :

a) \(\frac{1}{{\sqrt {20,3} }}\)

b) tan 29⁰30'

a. Cho hàm số f(x) = tanx. Tính f⁽ⁿ⁾(x) với n = 1, 2, 3.

b. Chứng minh rằng nếu \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) thì 

\({f^{(4n)}}(x) =  - {2^{4n - 1}}\cos 2x\)

Chứng minh 

a. Nếu \(y = Asin(\omega t + \varphi ) + Bcos(\omega t + \varphi )\), trong đó A, B, ω và φ là những hằng số, thì  y"+ω2y=0.

b. Nếu \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \) thì \({y^3}y + 1 = 0.\)