YOMEDIA
NONE

Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC

Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = AA’ = a, AC’ = 2a.

a. Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ACD’)

b. Tìm đường vuông góc chung của các đường thẳng AC’ và CD’. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ấy.

ATNETWORK

Hướng dẫn giải chi tiết

a) Xét tứ diện DACD’ có DA, DC, DD’ đôi một vuông góc nên khoảng cách DH từ D đến mặt phẳng (ACD’) được tính bởi hệ thức:

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{D{A^2}}} + \frac{1}{{D{C^2}}} + \frac{1}{{D{D^{\prime 2}}}}\)

Ta có: DC = a. DD’ = a

\(AC{\prime ^2} = A{C^2} + CC{\prime ^2} = D{A^2} + D{C^2} + CC{\prime ^2}\)

Hay \(4{a^2} = D{A^2} + {a^2} + {a^2}\),

Tức là: \(D{A^2} = 2{a^2}\)

Vậy 

\(\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{2{a^2}}}\)

Do đó: \(DH = \frac{{a\sqrt {10} }}{5}\)

b)

Vì CD = DD’ = a nên CD’ ⊥ C’D.

Mặt khác AD ⊥ (CDD’C’) nên CD’ ⊥ AC’ và CD’ ⊥ mp(AC’D).

Gọi giao điểm của CD’ với mp(AC’D) là I.

Trong mp(AC’D) kẻ IJ vuông góc với AC’ tại J thì IJ là đường vuông góc chung của AC’ và CD’.

Ta tính khoảng cách giữa AC’ và CD’

Ta có: ΔC’JI đồng dạng ΔC’DA

Nên \(\frac{{IJ}}{{AD}} = \frac{{IC\prime }}{{AC\prime }}\)

Suy ra: \(IJ = AD.\frac{{C\prime D}}{{2AC\prime }}\)

Mặt khác: \(C'D = a\sqrt 2 \) nên 

\(IJ = a\sqrt 2 .\frac{{a\sqrt 2 }}{{2.2a}} = \frac{a}{2}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 32 trang 117 SGK Hình học 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA
AANETWORK
 

 

YOMEDIA
ATNETWORK
ON