Bài tập 35 trang 118 SGK Hình học 11 NC

a) Vì AC = BD, AD = BC nên tam giác ACD bằng tam giác BDC, từ đó hai trung tuyến tương ứng AJ và BJ bằng nhau (ở đó J là trung điểm của CD).

Gọi I là trung điểm của AB thì ta có JI ⊥ AB.

Tương tự như trên ta cũng có JI ⊥ CD.

Vậy JI là đường vuông góc chung của AB và CD.

b) Điều ngược lại của kết luận nêu ra trong bài toán cũng đúng, tức là nếu IJ ⊥ AB, IJ ⊥ CD, I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì AC = BD; AD = BC.

Thật vậy, vì IJ ⊥ AB, I là trung điểm của AB nên AJ = BJ. Mặt khác:

\(\begin{array}{l}
A{C^2} + A{D^2} = 2A{J^2} + \frac{{C{D^2}}}{2}\\
B{C^2} + B{D^2} = 2B{J^2} + \frac{{C{D^2}}}{2}\\
 \Rightarrow A{C^2} + A{D^2} = B{C^2} + B{D^2}\left( 1 \right)
\end{array}\)

Tương tự như trên ta cũng có: 

\(C{B^2} + C{A^2} = D{B^2} + D{A^2}(2)\)

Từ (1) và (2) ta suy ra:

\(A{D^2} - B{C^2} = B{C^2} - D{A^2}\)

Tức là DA = BC và từ (1) ta cũng có AC = BD.

-- Mod Toán 11 HỌC247