Bài tập 3.9 trang 138 SBT Hình học 11

Ta cần chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0\)

Đặt \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow b ,\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow c ,\overrightarrow {AD}  = \overrightarrow d \). Ta có:

\(\overrightarrow {MN}  = \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {AN}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} } \right)\)

Suy ra \(\overrightarrow {MN}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow d  - \overrightarrow c } \right)\)

\(\overrightarrow {QP}  = \overrightarrow {QA}  + \overrightarrow {AP}  =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AD}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AC} } \right) = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c  - \overrightarrow d } \right)\)

Theo giả thiết ta có:

\(\begin{array}{l}
MN = PQ \Leftrightarrow {\overrightarrow {MN} ^2} = {\overrightarrow {QP} ^2}\\
 \Leftrightarrow {\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow d  - \overrightarrow c } \right)^2} = {\left( {\overrightarrow b  + \overrightarrow c  - \overrightarrow d } \right)^2}\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow b .\overrightarrow d  - \overrightarrow b .\overrightarrow c  = \overrightarrow b .\overrightarrow c  - \overrightarrow b .\overrightarrow d \\
 \Leftrightarrow 2\overrightarrow b .\overrightarrow d  - 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  = 0\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow b .\left( {\overrightarrow d  - \overrightarrow c } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right) = 0\\
 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0 \Leftrightarrow AB  \bot  CD 
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247