YOMEDIA

Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC

Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC

Cho hình tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \(\widehat {BAC} = {60^0},\widehat {BAD} = {60^0}.\)

Chứng minh rằng :

a. AB ⊥ CD;

b. Nếu I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì IJ ⊥ AB và IJ ⊥ CD.

ADSENSE

Hướng dẫn giải chi tiết

 
 

a) Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AC} } \right)\\
 = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} 
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = AB.AD.\cos \widehat {BAD} - AB.AC\\
.\cos \widehat {BAC} = 0
\end{array}\\
{ \Rightarrow AB \bot CD.}
\end{array}\)

b)

Ta có:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {IJ}  = \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {AJ} }\\
{ = \frac{1}{2}\overrightarrow {BA}  + \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC} } \right)}\\
{ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BC} } \right)}\\
{ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AC}  - \overrightarrow {AB} } \right)}\\
\begin{array}{l}
 \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} \\
 = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {AB}  - \overrightarrow {AC}  - A{B^2}} \right)
\end{array}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{1}{2}(AB.AD.\cos {60^0} + AB.AC\\
.\cos {60^0} - A{B^2}) = 0
\end{array}\\
{ \Rightarrow AB \bot IJ}
\end{array}\)

Mặt khác:

\(\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {CD} .\overrightarrow {IJ}  = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right).\left( {\overrightarrow {AD}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {AC} } \right)}\\
\begin{array}{l}
 = \frac{1}{2}( - \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AD}  + {\overrightarrow {AD} ^2} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {BA} \\
 + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {BA}  - {\overrightarrow {AC} ^2} + \overrightarrow {AD} .\overrightarrow {AC} )
\end{array}\\
{ =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\left( {\overrightarrow {CA}  + \overrightarrow {AD} } \right) =  - \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD}  = 0}\\
{ \Rightarrow CD \bot IJ}
\end{array}\)

-- Mod Toán 11 HỌC247

 
Nếu bạn thấy hướng dẫn giải Bài tập 11 trang 96 SGK Hình học 11 NC HAY thì click chia sẻ 
YOMEDIA

Chưa có câu hỏi nào. Em hãy trở thành người đầu tiên đặt câu hỏi.

 

YOMEDIA
1=>1
Array
(
    [0] => Array
        (
            [banner_picture] => 4_1603079338.jpg
            [banner_picture2] => 
            [banner_picture3] => 
            [banner_picture4] => 
            [banner_picture5] => 
            [banner_link] => https://tracnghiem.net/de-kiem-tra/?utm_source=Hoc247&utm_medium=Banner&utm_campaign=PopupPC
            [banner_startdate] => 2020-10-19 00:00:00
            [banner_enddate] => 2020-10-31 23:59:00
            [banner_embed] => 
            [banner_date] => 
            [banner_time] => 
        )

)